Zinsrechnung mit exponentiellem Wachstum

Question

Ich schreibe in der nächsten Woche eine Mathearbeit und bin gerade beim Üben auf eine Aufgabe gestoßen, die wir in der Schule in dieser Ausführung noch nicht gemacht haben, unser Lehrer meinte aber, so eine könnte drankommen. Wäre also nett, wenn mir jemand helfen könnte! Vielen Dank schon einmal:-)

P.S. Bisher haben wir immer die Formel B(t)=B(0)*q^t verwendet, also bei Zinsrechnung ist der Bestand B(t) gleich dem Anfangsbestand B(0)*Wachstumsfaktor q hoch Zeitschritte t.

Aufgabe:

a) Jemand hat einen runden Geldbetrag zu einem festen Zinssatz angelegt und nach acht Jahren einen Kapitalzuwachs von knapp 44,95% erzielt, das entspricht 1888,10€. Berechne das Start- und Endkapital sowie den jährlichen Zinssatz.

b) Eine Bank bietet an, Kapital zwölf Jahre lang mit einem festen Zinssatz zu verzinsen und am Ende das 2,2-fache des Anfangskapitals auszuzahlen. Berechne den Zinssatz.

c) Bei einer anderen Bank kann man Geld zu einem festen Zinssatz anlegen und man erhält am Ende der zehnjährigen Laufzeit eine Summe, die einem jährlichen Wertzuwachs von 9,6% des Startguthabens entspricht. Wie hoch ist der angebotene Zinssatz?

Answer 1

b)

B ( 12 ) = B ( 0 ) ( 1 + p ) ¹²

Es soll gelten: B ( 12 ) = 2,2 * B ( 0 ) , also:

2,2 * ( B ( 0 ) = B ( 0 ) * ( 1 + p ) ¹²

<=> 2,2 = ( 1 + p ) ¹²

Anmerkung:
Wie du siehst, kürzt sich das Anfangskapital B ( 0 ) heraus. Der Zinssatz ist also unabhängig von dem Anfangskapital!

<=> 1 + p = ¹²√ 2,2

<=> p = ¹²√ ( 2,2 ) - 1 ≈ 0,0679 = 6,79 %

 

c)

B ( 10 ) = B ( 0 ) ( 1 + p ) ¹⁰

Es soll gelten:
B ( 10 ) = B ( 0 ) + 10 * 0,096 * B ( 0 ) = B ( 0 ) ( 1 + 0,96 ) = 1,96 * B ( 0 ) ,
also:

1,96 * B ( 0 ) = B ( 0 ) ( 1 + p ) ¹⁰

<=> 1,96 = ( 1 + p ) ¹⁰

Wieder hat sich das Anfangskapital herausgekürzt.

<=> 1 + p = ¹⁰√ 1,96

<=> p = ¹⁰√ 1,96 - 1 ≈ 0,0696 = 6,96 %

Comments

Danke schön! Eine Sache habe ich aber leider immer noch nicht kapiert: Woher weiß ich, dass ich bei c) 1+0,96 rechnen muss? Kommt das daher, dass ich in der Formel dann *1,96 rechnen müsste?

---

Nun, laut Aufgabenstellung gilt:

man erhält am Ende der zehnjährigen Laufzeit eine Summe, die einem jährlichen Wertzuwachs von 9,6% des Startguthabens entspricht

Zu  dem Anfangskapital B ( 0 ) kommen also in jedem Jahr 9,6 % des Anfangskapitals hinzu. Nach 10 Jahren sind also 

10 * 0,096 * B ( 0 ) = 0,96 * B ( 0 )

hinzugekommen und man hat daher am Ende der Laufzeit:

B ( 10 ) = B ( 0 ) + 0,96 * B ( 0 )

Klammert man B ( 0 ) aus, so ergibt sich

= B ( 0 ) * ( 1 + 0,96 )

Klammerinhalt zusammenfassen:

= B ( 0 ) * 1,96

---

Ach so, jetzt verstehe ich das!  :-)

Answer 2

a) Jemand hat einen runden Geldbetrag zu einem festen Zinssatz angelegt und nach acht Jahren einen Kapitalzuwachs von knapp 44,95% erzielt, das entspricht 1888,10€. Berechne das Start- und Endkapital sowie den jährlichen Zinssatz.

K0 * (1 + p)^8 = K0 * (1 + 0.4495)
(1 + p)^8 = 1.4495
p = 0.0475

K0 * 0.4495 = 1888.10
K = 4200

Comments

Dieses Ergebnis passt allerdings nicht zur Aufgabenstellung, denn bei einem Zinssatz von p = 0,0475 ergibt sich nach 8 Jahren ein Wertzuwachs von

1,0475 ⁸ - 1 = 0,4495468 > 44,95 %

Laut Aufgabenstellung soll der Zuwachs jedoch nur knapp 44,95 % betragen. 

---

Okay, danke an euch beide für die Hilfe! Wie rechnet man denn dann b) und c)? Ich verstehe das einfach nicht...