Lineare Gleichung: geometrisches Problem

Question

Hab 2 Fragen wo ich gar nicht klar komme

Wer kann mir den Rechenweg und Formel erklären!

 

1 ) Ein Rechteck hat einen Umfang von 40 cm. Verdoppelt man die beiden längeren Seiten, so entsteht ein neues Rechteck mit einem Umfang von 64 cm. Berechne die Seitenlängen des neuen Rechtecks.

 

2) Wenn man bei einen Rechteck mit dem Umfang von 158 cm die eine Seite um 6 cm verkürzt und dafür die andere um 6 cm verlängert, dann nimmt der Flächeninhalt um 150cm2 zu. Berechne die Seitenlängen dieses Rechtecks!

 

Zu 1   a2+b2=40

2a2+b2=64  

Wenn ich die Gleichung zusammenfasse

a2=64

Ich hab einfach keinen Lösungsansatz null Ahnung bei der zweiten komm ich auch nicht klar

Answer 1

Hi,

bei Aufgabe 1 sind die beiden Gleichungen ja schonmal ok. Man kann sie noch vereinfachen zu $$ (1) \quad a+b=20 $$ und $$ (2) \quad 2a+b=32 $$ Jetzt (2) - (1) rechnen ergibt a=12 und das einsetzen z.B in (1) erbibt b=8

Aufgabe 2)
Hier hat man folgende Gleichungen $$ (1) \quad 2x+2y=158 $$ und $$ (2) \quad (x-6)(y+6)=xy+150 $$

Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt $$ (1') \quad x+y=79 $$ und $$ (2') \quad x-y=31 $$ Jetzt (1') und (2') addieren ergibt x=55 und einsetzen z.B. in (2') ergibt y=24

Answer 2

Zu 1)

Wenn ich die Gleichung zusammenfasse

a2=64

Damit meinst du vermutlich die Anwendung des Additionsverfahrens. Das allerdings ergibt (zweite Gleichung minus erste Gleichung):

a2 = 24

<=> a = 12

Daraus ergibt sich für b:

b2 = 40 - a2 = 40 - 24 = 16

<=> b = 8

Die Seitenlängen des neuen Rechtecks sind somit

a_neu = 2 * a = 24

b_neu = b = 8

Die Summe aller dieser vier Seiten ist 2 * 24 + 2 * 8 = 64 (wie gefordert)

 

Zu 2)

Hier ist der Ansatz:

2 a + 2 b = 158
(Umfang des ursrpünglichen Rechtecks)

2 * ( a + 6 ) * ( b - 6 ) = a * b + 150
(Links der Flächeninhalt des neuen Rechtecks, rechts der Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks zuzüglich der 150 cm ², um die der Flächeninhalt des neuen Rechteks größer als der des ursprünglichen Rechtecks ist)