Kreisgleichungen berechnen

Question

Berechnen Sie die Kreisgleichungen unter der Maßgabe, dass die zugehörigen Kreise mit dem gemeinsamen Mittelpunkt M (3/-2) die Parabel  y= 0,55x²  in der Höhe von y = 3 + 4 schneiden!

Skizzieren Sie maßstäblich das Ergebnis.

Answer 1

Wenn die Kreise die Parabel bei y = 3 und y = 4 schneiden sollen, haben wir insgesamt 4 Kreise, zu denen wir die Schnittpunkte (auch vier) mit der Parabel ermitteln:

Parabel: y = 0,55x²

3 = 0,55x² -> x_1/2 = ±√(3/0,55) = ± 2,34 -> Schnittpunkte_1/2 (± 2,34|3)

4 = 0,55x² -> x_3/4 = ±√(4/0,55) = ± 2,7 -> Schnittpunkte_3/4 (± 2,7|4)

Die allgemeine Kreisgleichung für Mittelpunkt (xm|ym) mit dem Radius R lautet:

(x - xm)² + (y - ym)² = R²

1. Kreisgleichung für Schnittpunkt 1 (2,34|3)

xm und ym ist gegeben, fehlt noch R. Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zum ersten Schnittpunkt (2,34|3) und den kann man hier berechnen (Pythagoras):

(ys1 - ym)² + (xs1 - xm)² = R1²

(3 - (-2))² + (2,34 - 3)² = R1²

2⁵ + 0,4356 = R1² -> R1 =  5,04

-> (x - 3)² + (y + 2)² = 5,04²

2. Kreisgleichung für Schnittpunkt 1 (-2,34|3)

xm und ym ist gegeben, fehlt noch R. Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zum zweiten Schnittpunkt (-2,34|3) und den kann man hier berechnen:

(ys2 - ym)² + (xs2 - xm)² = R2²

(3 - (-2))² + (-2,34 - 3)² = R2²

2⁵ + 28,5156 = R2² -> R2 =  7,32

-> (x - 3)² + (y + 2)² = 7,32²

Die anderen beiden Kreisgleichungen schaffst du alleine .-)

Comments

Vielen Dank   :))  

hab nur ein kleinen Fehler, gemeint war dass die Kreise die Parabel  y= 0,55x²  in der Höhe von y = 3 scheiden

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Kannst du mir vielleicht noch bei einer Maßstäblichen Skizze helfen? Hab es jetzt wie du es oben erklärt hast gemacht, da in der Aufgabenstellung, das schneiden der Kreise in Höhe von y= 3 gemeint war.  

Als aber noch anzunehmen war das es bei 3 und 4 schneidet, wie kamst du drauf das es vier Kreise sind?

 

3 = 0,55x² -> x_1/2 = ±√(3/0,55) = ± 2,34 -> Schnittpunkte_1/2 (± 2,34|3)

Die allgemeine Kreisgleichung für Mittelpunkt (xm|ym) mit dem Radius R lautet:

(x - xm)² + (y - ym)² = R²

1. Kreisgleichung für Schnittpunkt 1 (2,34|3)

xm und ym ist gegeben, fehlt noch R. Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zum ersten Schnittpunkt (2,34|3) und den kann man hier berechnen (Pythagoras):

(ys1 - ym)² + (xs1 - xm)² = R1²

(3 - (-2))² + (2,34 - 3)² = R1²

2⁵ + 0,4356 = R1² -> R1 =  5,04

-> (x - 3)² + (y + 2)² = 5,04²

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weil ich dachte, dass bei y = 4 die Parabel auch durch Kreise geschnitten wird.

Zeichne die Parabel ins Koordinatensystem ein. Dann machst den Mittelpunkt der Kreise als Punkt ins Koordinatensystem und dann nimmst den Zirkel stichst im Mittelpunkt ein und ziehst den Kreis mit dem Radius von 5,04 cm.

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Alles Klar, danke.

 

Ich hätte hier noch eine Aufgabe die sehr wichtig ist, bräuchte die heute fertig , kannst du mir da helfen bzw. sie lösen? (Es handelt sich hier um Grundlagen der Mathematik, also keine komplizierte Rechenwege) 

 

- Eine Ellipse hat den Mittelpunkt M (3/2) und die Halbachsen a = 5 cm  und b= 3 cm.

Hier bräuchte bitte eine maßstäbliche  Skizze eventuell mit Wertetabelle

a) Welche Schnittpunkte hat die Ellipse der Geraden:  y= 0,5x + 1  ?

b) Wie lauten die Tangentengleichungen an die Ellipse bei den Punkten, an welchen die Ellipse die x-Achse schneidet?

c) Stellen Sie die Gleichung für eine Parabel auf, die die Ellipse bei x=0 (y=positiver Wert) schneidet (P1) und Ihren Scheitel bei Punkt  S  (2 /-2) hat!

d) Welche Koordinaten hat der zweite Scheitel der Parabel  P2 mit der Ellipse?

e) Tragen Sie die Parabel in die maßstäbliche Skizze der Ellipse ein.

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a) Welche Schnittpunkte hat die Ellipse mit der Geraden:  y= 0,5x + 1  ?

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einfach die Geradengleichung in die vorhandene Gleichung für die Ellipse einsetzen und nach x auflösen