Vektoren in R³ Quaderaufgabe

Question

Ich schtreibe morgen eine Schulaufgabe und dort wird diese Nummer kommen. Bitte könnt ihr sie mir erklären?

Von einem Quader kennt man 3 Eckpunkte: A,B und C der Grundfläche und die Höhe h. Zeige, dass die Grundfläche ABCD ein Quadrat ist und berechne die Eckpunkte E,F,G,H der Deckfläche des Quaders! Wie viele Lösungen gibt es?

A=(9|3|12), B=(3|11|36), C=(-5|-13|42), h=39


Vielen Dank

Answer 1

Lösung:

AB = B - A = [3, 11, 36] - [9, 3, 12] = [-6, 8, 24]
BC = C - B = [-5, -13, 42] - [3, 11, 36] = [-8, -24, 6]

Man sieht schon, das die Vektoren AB und BC die gleiche Länge haben. Wir prüfen noch ob sie Senkrecht sind.

AB·BC = [-6, 8, 24]·[-8, -24, 6] = 0 --> Vektoren sind Senkrecht

D = C - AB = [-5, -13, 42] - [-6, 8, 24] = [1, -21, 18]

AB ⨯ BC = [-6, 8, 24] ⨯ [-8, -24, 6] = [624, -156, 208] = 52·[12, -3, 4]

|[12, -3, 4]| = 13

N = 3·[12, -3, 4] = [36, -9, 12]

E = A ± N = [9, 3, 12] ± [36, -9, 12] = [45, -6, 24] oder [-27, 12, 0]
F = B ± N = [3, 11, 36] ± [36, -9, 12] = [39, 2, 48] oder [-33, 20, 24]
G = C ± N = [-5, -13, 42] ± [36, -9, 12] = [31, -22, 54] oder [-41, -4, 30]
H = D ± N = [1, -21, 18] ± [36, -9, 12] = [37, -30, 30] oder [-35, -12, 6]