Wie groß ist der Flächeninhalt von den Vektoren des aufgespannten Dreiecks?

Question

Aufgabe:

a = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix} \) , b = \( \begin{pmatrix} -1\\-2\\2 \end{pmatrix} \) c = \( \begin{pmatrix} 0\\3\\4 \end{pmatrix} \)

Wie groß ist der Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Dreiecks?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe irgendwie nicht und kann dazu keine gute Erklärung finden.. Könnt ihr mir Helfen bitte ? :(

Comments

Beachte, a,b,c sind Vektoren, c spielt bei der Betrachtung keine Rolle.

Du hast angegeben : Kreuzprodukt.

Die Länge, des beim Kreuzprodukt berechneten Vektors, ist doppelt so groß, wie die Dreiecksfläche.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Es geht aber auch über das Skalarprodukt.

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://c.wgr.de/f/verlage/westermanngruppe-at/dimensionen-mathematik/_dim6/materialien/12_AnalytischeGeometrie/02_Flaecheninhaltsberechnung/12_02_vektorielle_flaecheninhaltsformel_AB.pdf&ved=2ahUKEwjC4NSAga3tAhVGyxoKHcG9CbAQFjAOegQIHRAB&usg=AOvVaw3S9Efn15-BKTdHTdnfOvUh

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich der Fläche des Rechtecks, das die beiden beteiligten Vektoren aufspannen. Die Dreieckfläche ist die Hälfte davon:

$$F_\triangle=\frac{1}{2}\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}\right\|=\frac{1}{2}\left\|\begin{pmatrix}0-2\\1-0\\0-0\end{pmatrix}\right\|=\frac{1}{2}\sqrt{(-2)^2+1^2+0^2}=\frac{1}{2}\sqrt5$$

Answer 2

$$a^2=0^2+0^2+(-1)^2=1$$

$$b^2=(-1)^2+(-2)^2+2^2=9$$

$$ab=0*(-1)+0*(-2)+(-1)*2=-2$$

$$A=0,5* \sqrt{a^2*b^2-(ab)^2} =0,5\sqrt{1*9-(-2)^2}=0,5*\sqrt{5}$$