Lösung:
$$ a=r+s, b=-s+r $$
Es gilt
$$ \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{r}+s, \boldsymbol{r}-s\rangle=\langle\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}\rangle-\langle\boldsymbol{s}, \boldsymbol{s}\rangle=0, $$
da die Länge der Vektoren \( r \) und \( s \) gleich ist. Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) aufeinander senkrecht, der eingeschlossene Winkel ist ein rechter Winkel.
2. Gegeben sind die Punkte \( \mathrm{A}(1 /-4 / 2) \) und \( \mathrm{B}(-5 / 2 / 1) \). Berechnen Sie mit Hilfe des Vektorprodukts den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten \( O \) (Ursprung), \( A \) und \( B \).
Lösung: Wir bezeichnen mit \( \boldsymbol{a} \) den Ortsvektor \( \overrightarrow{O A} \) von Punkt \( A \) und mit \( \boldsymbol{b} \) den Ortsvektor \( \overrightarrow{O B} \) von Punkt \( B .\|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\| \) ist gleich dem Inhalt des von \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) aufgespannten Parallelogramms. Der Inhalt des Dreiecks ist dann die Hälfte davon. Es ist
$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -4-4 \\ 10-1 \\ 2-20 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -8 \\ -11 \\ -18 \end{array}\right) $$
Wegen \( \|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\|=\sqrt{64+121+324}=\sqrt{509}=22.56 \) hat das Dreieck \( O A B \) den Flächeninhalt \( 11.28 . \)
Wie berechnet man das? Warum ist der Flächeninhalt 11,28?
