Wo ist mein Fehler? Logarithmische Integration

Question

∫₁² x²/(x³+1)dx  wieso muss man hier jetzt 1/3 ausklammern? Und dann steht da 1/3ln(9/2)... aber wieso????? Oo

wäre jetzt oben 2x dann würde ich 1.5 ausklammern, aber da ist x²

Answer 1

∫ x^2 / (x^3 + 1) dx

Substitution z = x^3 + 1
1 dz = 3x^2 dx
dx = 1 / (3x^2) dz

∫ x^2 / (x^3 + 1) dx = ∫ x^2 / z * 1 / (3x^2) dz = ∫ 1 / (3z) dz = 1/3 * LN(z)

Resubstitution

1/3 * LN(z) = 1/3 * LN(x^3 + 1)

Nun kontrollieren indem man die Stammfunktion ableitet.