Logarithmische Integration: (4e^x)/(2e^x+1)dx in den Grenzen -ln2 und 0

Question

$$ \int_{-ln2}^{0}\frac { 4e^x }{ 2e^x+1 }dx $$

da sollte als Ergebnis ≈0.81 raus kommen, aber wie kommt man zu dieser Lösung?

Das ist eine seeehhrr ja wie soll ich sagen schreibaufwendige Aufgabe:D

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Hallo Emre,

versuche es mit Substitution. u = 2e^x +1
u' = 2e^x steht ja als Faktor beinahe so dort.
Nimm einen Faktor 2 vor das Integral, dann ist die Sache nicht mehr schwierig.

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Hmm ich hab noch Probleme mit der Substitution... :/

Aber Danke für deine Hilfe!

Answer 1

Hi Emre,

warum schreibauwendig? Schreibe 4 als 2*2, dann kannst Du die eine 2 vor das Integral schreiben und hast nun die Ableitung des Nenners im Zähler :).


Probiers mal.


Grüße

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∫_-ln2⁰ (4e^x)/(2e^x+1)dx = 2*∫_-ln2⁰ (2e^x)/(2e^x+1)dx =  [2*|2e^x+1|]_-ln2⁰ =

                                 = 2ln(2e^-ln2+1)-2ln(2e⁰+1)= 2ln1-2ln3 ≈ -2.19 ????

Ich bin einfach so schlecht :(

SO kann ich nicht mal das Abitur schaffen und dann weiß ich nie wer du bist :(

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Nun, wenn Du Dir mal ein paar Regeln merken würdest, die man Dir zigfach nennt, würde das ganze viel besser aussehn.

Zum wiederholten Male: Obere Grenze - untere Grenze.

 

Sonst, wie gesagt, sieht das gut aus:

2ln(2e^-ln2+1)-2ln(2e⁰+1)= 2ln1-2ln3

Hier liegt (abgsehen davon, dass es falschrum ist) der Fehler. Du siehst ihn?^^

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Alternative Substitution:

$$ z=2e^x+1 $$

$$ dz=2e^xdx \Leftrightarrow dx=\frac{dz}{2e^x} $$

neue Grenzen: \(3=2e^0+1\) und \(2=2e^{-log[2]}+1\)

$$\int_2^3 \frac{2}{z}dz=2Log[3]-2Log[2] \approx 0.8109$$

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Ohhh die Regeln...... wie viele man sich merken muss Oo

ok nochmal kurz neu:

da sollten dann:

= 2ln3 -2ln2= 0.81 rauskommen??

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Hey Sigma...Danke auch für deine Hilfe!

Allerdings habe ich noch Schwierigkeiten mit der Substitution ... trotzdem

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Genau. Das ist richtig :).

So schwer wars gar nit, gell?^^

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Nö eigentlich nicht :)

Aber ich selber/alleine wäre nie darauf gekommen, dass man 4 auch als 2*2 schreiben kann..ja ok doch schon ^^, aber ich hätte nicht gedacht, dass man das hier einfach so machen kann??? Kann man das einfach so machen??

Also ich selber würde jetzt 4 nicht als 2*2 schreiben und dann die eine 2 vors Integral ziehen :)

Gibt es da vielleicht Tricks?? :D

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Nun, es ist wie mit dem 1 = 2/2 schreiben...Du schaust Dir den Nenner an und schaust was Du im Zähler brauchst. Mit Glück kannst Du Dir was basteln...wie hier^^.

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ohh ich bin schlecht beim basteln ^^ :P

So ich gehe schlafen :)

Gute Nacht :)

Answer 2

Hallo emre,

  wernn im Zähler die Abletung des Nenners steht kannst du immer
den ln bemühen

[ ln(Term) ] ´ = ( Term ´ ) /  Term

Term = 2 * e^x + 1
Term ´ = 2 * e^x

Im Zähler stehen 4 * e^x. Hier kann man eine 2 vors Integral schreiben

2 * ∫ ( 2 * e^x ) / ( 2 * e^x + 1 )

2 * [ ln ( 2 * e^x + 1 ) ] ´ = dein Term im Integral.

Die Grenzen einsetzen kannst du ja.

Bei Fragen wieder melden. Ich gehe
jetzt allerdings ins Bett.

mfg Georg

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Hallo Georg :)

Danke auch natürlich für deine Hilfe!

Ich habe das mal versucht (siehe unter Unknown's Antwort). Aber ich denke, dass es falsch ist. Naja ich habe es mal versucht. ^^ Mehr als falsch kann es nicht sein :D