Der Definitionsbereich von f ist die Menge aller Zahlen, für die f einen definierten Wert ergibt.
Das ist bei der Funktion
f ( x ) = ( x +1 ) 2 e x
für jedes x aus R der Fall. Also:
D = R
Der Wertebereich von f ist die Menge aller möglichen Funktionswerte von f.
Bei der Funktion
f ( x ) = ( x + 1 ) 2 e x
ist der Faktor ( x + 1 ) 2 für alle x ∈ R größer oder gleich Null und der Faktor e x für alle x soger echt größer Null. Somit sind auch die Werte des Produktes ( x + 1 ) 2 e x größer oder gleich Null.
Für x -> unendlich geht f ( x ) gegen unendlich. Da f zudem stetig ist, nimmt f alle nicht negativen reellen Zahlen an, also:
W = R0+
Der y-Achsenabschnitt ist die y-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse. In diesem Schnittpunkt hat die x-Koordinate den Wert Null. Man erhält also den y-Achsenabschnitt, indem man den Funktionswert von f an der Stelle x = 0 berechnet:
f ( 0 ) = ( 0 +1 ) 2 e 0 = 1 * 1 = 1
Der y-Achsenabschnitt ist also y = 1
Der x-Achsenabschnitt ist die y-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen von f mit der x-Achse. In diesem Schnittpunkt hat die y-Koordinate den Wert Null. Man erhält also den x-Achsenabschnitt, indem berechnet, für welches x gilt:
f ( x ) = 0
Also:
f ( x ) = ( x + 1 ) 2 e x = 0
<=> ( x + 1 ) 2 e x = 0
Ein Produkt hat genau dann den Wert Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren den Wert Null hat. Da e x niemals den Wert Null annimmt, kann die zuletzt genannte Gleichung nur wahr sein wenn
<=> ( x + 1 ) 2 = 0
<=> x + 1 = 0
<=> x = - 1
Der x-Achsenabschnit ist also:
x = - 1
Die x - Achsenabschnitte (eine Funktion kann durchaus mehrere davon haben) sind gleichzeitig die Nullstellen von f. Die beiden Ausdrücke x-Achsenabschnitt und Nullstelle sind synonym.
Zur Ableitung von f:
f ( x ) = ( x + 1 ) 2 * e x
Verwende hier die Produktregel:
f ( x ) = u * v => f ' ( x ) = u ' * v + u * v '
Also:
u = ( x + 1 ) 2
u ' = (Kettenregel: Innere Ableitung * äußere Ableitung) = 1 * 2 ( x + 1 ) = 2 ( x + 1 )
v = e x
v ' = e x
Daher:
f ' ( x ) = 2 ( x + 1 ) * e x + ( x + 1 ) 2 * e x
= ( ( x + 1 ) 2 + 2 ( x + 1 ) ) * e x
= ( x 2 + 2 x + 1 + 2 x + 2 ) * e x
= ( x 2 + 4 x + 3 ) * e x