Kurvendiskussion von f(x) = (x+1)^{2}e^x

Question

Bestimmen  Sie den Definitionsbereich und den Wwertbereich der Funktion f sowie die Achsenabschnittpunkte und die Hoch und Tiefpunkte des Graphen der Funktion f

f(x)= (x+1)²e^x

Definitionsbereich:

(x+1)²= x²+2x+1

x₁= -1

D = {ℝ|x-1}

Wertebereich weiß ich nicht was das ist.

Achsenabschnittpunkte auch nicht also doch ich weiß was das ist, aber nicht wie man die ausrechnet.

Hoch und Tiefpunkte kann ich, aber ich weiß nicht wie ich das ableiten soll? Kettenregel? e^x bleibt ja einfach e^x beim ableiten, alos muss ich nur 2mal x²+2x+1 ableiten?

Comments

Wertebereich sind die y-Werte, wenn mich nicht alles täuscht ;)

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Hmm und wie bestimme Ich die? Oo

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Ich weiß nicht, wie e-Funktionen ausschauen. Das habe ich erst noch vor mir :)

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Ahso. Na dann viel Glück:) (Ich mag die e funktion nicht :( )

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Emre , dein D = {ℝ|x-1} ergibt absolut keinen Sinn. Du hast versucht, den Definitionsbereich in Mengenschreibweise anzugeben.Sinnvoll aber  Aber setze doch mal x₁=1 in deine Funktion ein.

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Hi Sigma.

ja :( ich weiß jetzt mein Fehler :)

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Wenn du dir unsicher bist hilft dir in den meisten Fällen Wolframalpha.

Wenn du deine Funktion eingibst gibt er dir alle möglichen Fakten zu der Funktion an.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B1%29%5E2e%5Ex

Du bist bestimmt der englischen Sprache mächtig.

domain (Definitionsbereich)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+%28x%2B1%29%5E2e%5Ex

range (Wertebereich)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=range+%28x%2B1%29%5E2e%5Ex

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Ahja der Wolfi ^^

Ja also in Englisch bin ich schon ganz gut :)

ich gehe jetzt schlafen. Ich wünsche Dir eine schöne Gute Nacht Sigma (Übrigens: Sigma... das ist doch ∑ das hier?)

Answer 1

Hi Emre,

das mit dem Definitionsbereich hast Du immer noch nicht verstanden?

Übersetzung: "Was darf x sein". x darf hier alles sein!

D = ℝ

 

Wertebereich: Was kann y sein

W = ℝ₀⁺

Da ja die e-Funktion nie negativ wird und der Faktor davor auch nicht, nur die positiven Werte ;).

 

y-Achsenabschnitt:

f(0) = 1

--> S_y(0|1)

 

x-Achsenabschnitt_

f(x) = 0

x = -1

--> S_x(-1|0)

 

Extrema:

Nun für das Minimum brauchen wir eigentlich nichts rechnen. Das ist offensichtlich S_x.

Aber vielleicht gibt es ja noch mehr?! Ableiten mit Produktregel:

f'(x) = 2(x+1)e^x + (x+1)^{2}e^x = (x^2+4x+3)e^x

Das ist 0 für

x = -1 und x = -3

Ersteres wussten wir schon, aber x = -3 haben wir nun noch gefunden.

Mit VZW oder zweiter Ableitung überprüfen:

H(-3|0,199)

 

Grüße

Comments

woher weiß man denn, dass x hier alles sein darf??

ich würde einfach nach x auflösen :( (was ich ja auch gemacht hab, aber falsch war)

Der Rest ist denke ich klar

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Das hatten wir doch schon mehrfach durchgesprochen.

Problemstellen/-bereiche sind zu identifizieren. Das sind Nennernullstellen, negative Radikanden etc.

Nichts davon liegt vor!

Was Du mit x auflösen machst, hat nur Sinn, wenn man Nullstellen sucht. Aber nichts bis wenig mit dem Definitionsbereich, wenn Du nicht gerade Nennernullstellen suchst.

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aaaaahhhhh

also Wurzel also die Diskriminante und der Nummerus und alles......das ist ja hier nicht der Fall..........ahhh ...ich komme mir grad so blöd vor:(

Answer 2

Der Definitionsbereich von f ist die Menge aller Zahlen, für die f einen definierten Wert ergibt.

Das ist bei der Funktion

f ( x ) = ( x +1 ) ² e ^x

für jedes x aus R der Fall. Also:

D = R

Der Wertebereich von f ist die Menge aller möglichen Funktionswerte von f.

Bei der Funktion

f ( x ) = ( x + 1 ) ² e ^x

ist der Faktor ( x + 1 ) ²  für alle x ∈ R größer oder gleich Null und der Faktor e ^x für alle x soger echt größer Null. Somit sind auch die Werte des Produktes ( x + 1 ) ² e ^x größer oder gleich Null.

Für x -> unendlich geht f ( x ) gegen unendlich. Da f zudem stetig ist, nimmt f alle nicht negativen reellen Zahlen an, also:

W = R₀⁺ 

 

Der y-Achsenabschnitt ist die y-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse. In diesem  Schnittpunkt hat die x-Koordinate den Wert Null. Man erhält also den y-Achsenabschnitt, indem man den Funktionswert von f an der Stelle x = 0 berechnet:

f ( 0 ) = ( 0 +1 ) ² e ⁰ = 1 * 1 = 1

Der y-Achsenabschnitt ist also y = 1

Der x-Achsenabschnitt ist die y-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen von f mit der x-Achse. In diesem  Schnittpunkt hat die y-Koordinate den Wert Null. Man erhält also den x-Achsenabschnitt, indem berechnet, für welches x gilt:

f ( x ) = 0

Also:

f ( x ) = ( x + 1 ) ² e ^x = 0

<=> ( x + 1 ) ² e ^x = 0

Ein Produkt hat genau dann den Wert Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren den Wert Null hat. Da e ^x niemals den Wert Null annimmt, kann die zuletzt genannte Gleichung nur wahr sein wenn

<=> ( x + 1 ) ² = 0

<=> x + 1 = 0

<=> x = - 1

Der x-Achsenabschnit ist also:

x = -  1

Die x - Achsenabschnitte (eine Funktion kann durchaus mehrere davon haben)  sind gleichzeitig die Nullstellen von f. Die beiden Ausdrücke x-Achsenabschnitt und Nullstelle sind synonym.

 

Zur Ableitung von f:

f ( x ) = ( x + 1 ) ² * e ^x

Verwende hier die Produktregel:

f ( x ) = u * v  => f ' ( x ) = u ' * v + u * v '

Also:

u = ( x + 1 ) ²

u ' = (Kettenregel: Innere Ableitung * äußere Ableitung) = 1 * 2 ( x + 1 ) = 2 ( x + 1 )

v = e ^x

v ' = e ^x

Daher:

f ' ( x ) = 2 ( x + 1 ) * e ^x + ( x + 1 ) ² * e ^x

= ( ( x + 1 ) ² + 2 ( x + 1 ) ) * e ^x

= ( x ² + 2 x + 1 + 2 x + 2 ) * e ^x

= ( x ² + 4 x + 3 ) * e ^x

Comments

Hi JotEs!!

Wow Danke für deine Ausführliche Antwort!!!

Dankeschön. Ich werde es mir in Ruhe durchlesen und dann schlafen gehen.

ein Daumen hoch für deine ausführliche Antwort. (Tut mir leid hab den Stern schon vergeben. Ich dachte es kommen keine Antworten mehr^^)