Konverrgiert die Reihe zu (xn) absolut, dann konvergiert auch die Reihe zu (xn)^2 absolut.

Question

Aufgabe:

Sei \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} x_{n} \) eine Reihe reeller Zahlen.

(a) Zeigen Sie: Konvergiert \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} x_{n} \) absolut, dann konvergiert auch \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(x_{n}\right)^{2} \) absolut.

(b) Finden Sie ein Beispiel, so dass \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} x_{n} \) konvergiert, aber \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(x_{n}\right)^{2} \) nicht.

Comments

b) xn: = (-1)^n / √n

ist eine alternierende Nullfolge. --> Reihe konverigiert.

(xn)^2 = 1/n

harmonische Reihe → konv. nicht.

Answer 1

Hi,

weil die Reihe \(  \sum_{n=0}^\infty a_n \) absolut konvergiert, ist \( |a_n| \) eine Nullfolge. Damit gibt es ein \( n_0 \in \mathbb N \) s.d. für alle \( n \gt n_0 \) gilt, \( |a_n| \lt 1 \). Damit gilt auch \( a_n^2 \lt |a_n| \lt 1 \) für \( n \gt n_0 \). Und deshalb ist die Reihe \(  \sum_{n=0}^\infty a_n \) eine konvergente Majorante von \(  \sum_{n=0}^\infty a_n^2 \) und konvergiert deshalb.

Das Gegenbeispiel ist ja schon genannt worden.

Comments

Sicher, dass \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) Majorante ist, oder sollte es besser \(\sum_{n=0}^{\infty}\vert a_n\vert\) heißen?

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Hi, Du hast Recht, \( \sum_{n=0}^{\infty}|a_n| \) ist die Majorante. Da habe ich die Betragszeichen vergessen.