Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen mit: an:=(3+4i)^n/6^n

Question

Bestimmen Sie die Grenzwerte \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) der nachstehenden Folgen \( \left(a_{n}\right) \) :

(a) \( a_{n}=\frac{4^{n} n^{4}+n^{6}}{5^{n}} \)

(b) \( a_{n}=\frac{\left(n^{2}-5 i n\right)^{3}-n^{6}}{n^{5}} \)

(c) \( a_{n}=\frac{5 n^{3}+7 n^{2}}{2(n+2)(n+1) n} \)

(d) \( a_{n}=\frac{(3+4 i)^{n}}{6^{n}} \)

Comments

an:=(4^n n^4 + n^6)/5^n = (n^4 + n^6/4^n)/1.25^n

Möchtest du bei a) und c) noch die Resultate angeben? Bei c) 5/2 = 2.5?

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bei c) habe ich als Ergebnis 5/2 raus. Die a) wurde hier im Forum schon vom Mathecoach vorgerechnet.

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b) (n^2 - 5in)^3     ausmultiplizieren

= n^6 - 3(n^4)(5in) + 3n^2 (25(in)^2 - 125(in)^3

= n^6 - 15 in^5 - 75n^{4} + 125in^3
Bis hierhin erst mal kontrollieren und gegebenenfalls korrigieren und dann den ganzen Bruch weiter vereinfachen wie bei c)

Answer 1

d) an:=(3+4i)ⁿ/6ⁿ 

=((3+4i)/6) ⁿ 

Betrachte den Betrag

|an| = (√(9+16) / 6)ⁿ

= (5/6)ⁿ

Das ist eine Nullfolge, da 5/6 <1. Das Argument spielt nun keine Rolle mehr. Der Grenzwert dieser Folge ist die Zahl 0. Exakt a= 0+0i = 0.

Zu b) folgt ein Kommentar. Das kannst du dann selbst.