za:=a(1+i). Bestimmen Sie alle Häufungswerte der Folge za^n

Question

Für α > 0 sei z_a := α(1 + i), i die imaginäre Einheit. Bestimmen Sie alle Häufungswerte der Folge von $$({ z }_{ \alpha  }^{ n }{ ) }_{ n\in ℕ }$$ in Abhängigkeit von α.

 

Ich komme leider überhaupt nicht klar mit dieser Aufgabe.

Answer 1

α > 0 impliziert, dass α eine reelle Zahl ist. Ich nenne das nun a.

z_a := a(1 + i)   

|z_a| = a* √2             . Betrag sollte 1 sein, damit mehrere Häufungswerte rauskommen.

z_a = √2 * a e^{iπ/4} 

1. Fall a > 1/√2

z_aⁿ --------> divergiert

2. Fall a < 1/√2

z_aⁿ --------> 0. 0 ist der einzige Häufungswert.

3. Fall a = 1/√2

8 Häufungswerte: e^{iπ/4}, e^{2iπ/4}= i, e^{3iπ/4} , e^{4iπ/4}= -1, e^{5iπ/4}, e^{6iπ/4} = -i, e^{7πi/4}, e^{8iπ/4} = 1