Question

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden Ungleichungen:

(a) |x − 2| + 2 ≤ |2x + 2|,

(b) x² − 2|x| + 1 > 0,

(c) |x − 2|/|x − 3|≤ 2,

(d) x −√(3x+7) ≤ 1.

Answer 1

Ich rechne a) mal ganz ausführlich vor:

Grenzfälle (und damit Stellen, an denen man eine Fallunterscheidung durchführen muss), liegen dort vor, wo die Terme in den Betragsstrichen den Wert Null annehmen. Das ist hier bei 

x = 2 und x = - 1

der Fall, also:

Fall 1: x < - 1

Dann (siehe Definition von | x | ):

| x − 2 | + 2 ≤ | 2 x + 2 |

<=> 2 - x + 2 ≤ - 2 - 2 x

<=> x ≤ - 6

=>

L₁ = { x ∈ R | x < - 1 und x ≤ - 6 } = { x ∈ R | x ≤ - 6 }

Fall 2: - 1 ≤ x < 2

Dann:

| x − 2 | + 2 ≤ | 2 x + 2 |

<=> 2 - x + 2 ≤ 2 x + 2

<=> 3 x ≥ 2

<=> x ≥ 2 / 3

=>

L₂ = { x ∈ R | - 1 ≤ x < 2 und x ≥ 2 / 3 } = { x ∈ R | 2 / 3 ≤ x < 2 }

 

Fall 3: x ≥ 2

Dann:

| x − 2 | + 2 ≤ | 2 x + 2 |

<=> x - 2 + 2 ≤  2x + 2

<=>  x ≥ - 2

=>

L₃ = { x ∈ R | x ≥ 2  und x ≥ - 2 } = { x ∈ R | x ≥  2 }

=>

L = L₁ ∪ L₂ ∪ L₃

= { x ∈ R | x ≤ - 6 } ∪ { x ∈ R | 2 / 3 ≤ x < 2 } ∪ { x ∈ R | x ≥  2 }

= { x ∈ R | x ≤ - 6 oder 2 / 3 ≤ x }

Hier ein Schaubild der Ungleichung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=|x%E2%88%922|%2B2%E2%89%A4%7C2x%2B2|

 

Bei b) muss man die Fälle x < 0 und x ≥ 0 unterscheiden.

Bei c) muss man die Fälle x < 2, 2 ≤ x < 3 und x > 3 unterscheiden. Für x = 3 ist der Bruch auf der linke Seite nicht definiert.

Bei d) muss man den Definitionsbereich der Wurzel (x = - 7 / 3) beachten und in die Lösung mit einbeziehen.

Comments

Ist das richtig, dass man bei der b) als Lösung  x≥1 und x> -1 rausbekommt? Irgendwie kommt mir die Lösung falsch vor :/ und wie rechnet man bei der c) ? Komme da nicht so ganz auf die Spur.

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Nein, das ist nicht richtig.

Bei b) kommt \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\setminus\left\{-1,+1\right\}\) heraus.

Die Rechnung dazu kommt ohne Fallunterscheidungen aus und ist recht elementar!

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wie kommt man denn darauf?:/ 

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$$ x^2 − 2|x| + 1 > 0 \quad\Leftrightarrow \\\,\\ |x|^2 − 2|x| + 1 > 0 \quad\Leftrightarrow \\\,\\ \left(|x| - 1 \right)^2 > 0 \quad\Leftrightarrow \\\,\\ x \ne -1\quad\lor\quad x\ne+1. $$

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hast du auch eine Idee für die c) ?