Ich rechne a) mal ganz ausführlich vor:
Grenzfälle (und damit Stellen, an denen man eine Fallunterscheidung durchführen muss), liegen dort vor, wo die Terme in den Betragsstrichen den Wert Null annehmen. Das ist hier bei
x = 2 und x = - 1
der Fall, also:
Fall 1: x < - 1
Dann (siehe Definition von | x | ):
| x − 2 | + 2 ≤ | 2 x + 2 |
<=> 2 - x + 2 ≤ - 2 - 2 x
<=> x ≤ - 6
=>
L1 = { x ∈ R | x < - 1 und x ≤ - 6 } = { x ∈ R | x ≤ - 6 }
Fall 2: - 1 ≤ x < 2
Dann:
| x − 2 | + 2 ≤ | 2 x + 2 |
<=> 2 - x + 2 ≤ 2 x + 2
<=> 3 x ≥ 2
<=> x ≥ 2 / 3
=>
L2 = { x ∈ R | - 1 ≤ x < 2 und x ≥ 2 / 3 } = { x ∈ R | 2 / 3 ≤ x < 2 }
Fall 3: x ≥ 2
Dann:
| x − 2 | + 2 ≤ | 2 x + 2 |
<=> x - 2 + 2 ≤ 2x + 2
<=> x ≥ - 2
=>
L3 = { x ∈ R | x ≥ 2 und x ≥ - 2 } = { x ∈ R | x ≥ 2 }
=>
L = L1 ∪ L2 ∪ L3
= { x ∈ R | x ≤ - 6 } ∪ { x ∈ R | 2 / 3 ≤ x < 2 } ∪ { x ∈ R | x ≥ 2 }
= { x ∈ R | x ≤ - 6 oder 2 / 3 ≤ x }
Hier ein Schaubild der Ungleichung:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=|x%E2%88%922|%2B2%E2%89%A4%7C2x%2B2|
Bei b) muss man die Fälle x < 0 und x ≥ 0 unterscheiden.
Bei c) muss man die Fälle x < 2, 2 ≤ x < 3 und x > 3 unterscheiden. Für x = 3 ist der Bruch auf der linke Seite nicht definiert.
Bei d) muss man den Definitionsbereich der Wurzel (x = - 7 / 3) beachten und in die Lösung mit einbeziehen.