Vollständige Induktion x^2*e^x

Question

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die n-te Ableitung der Funktion f(x)=x^2*e^x die Form f''n(x)= (x^2+2nx+(n^2-n))*e^x hat!

Answer 1

IA: n=1

dann ist f'(x)=\(2x\cdot e^{x}+x^{2}e^{x}\)

IV: \(f^{(n)}(x)=x^{2}+2nx+(n^2-n)\cdot e^{x}\)

IS: n->n+1

\(f^{n+1}(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+2nx+(n^{2}-n))\cdot e^{x}=(2x+2n)e^{x}+(x^{2}+2nx+(n^{2}-n))e^{x}=(x^{2}+2x+2nx+(n^{2}-n)+2n)e^{x}=(x^{2}+2x(n+1)+((n+1)^{2}-(n+1)))e^{x}\)