Beweisen Sie, dass
\( \frac{n^{3}}{\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)} \)
eine Nullfolge ist.
Zunächst habe ich durch das Quotientenkriterium die Konvergenz bewiesen.
(Der Limes von an+1/an war 1/4)
Nun wollte ich durch an > an+1 zeigen, dass die Folge monoton fallend ist.
Die Ungleichung die ich am Ende erlangte sieht aus wie folgt:
\( 0<3 n^{5}+n^{4}-8 n^{3}-10 n^{2}-5 n+1 \), für \( n \geq 3 \)
Nun habe ich zwei Fragen:
1. Muss ich eine Induktion durchführen, um die Ungleichung zu beweisen oder genügt schon die bewiesene Konvergenz?
2. Wenn die Ungleichung dann bewiesen ist, Ist dadurch schon gezeigt, dass es sich um eine Nullfolge handelt, da a.) die rechte Seite der Ungleichung divergent ist und b.) Sowohl Nenner als auch Zähler nur positiv sein können?
