Muss man nach bewiesener Konvergenz noch monotones Wachstum beweisen?

Question

Beweisen Sie, dass

\( \frac{n^{3}}{\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)} \)

eine Nullfolge ist.

Zunächst habe ich durch das Quotientenkriterium die Konvergenz bewiesen.

(Der Limes von a_n+1/a_n war 1/4)

Nun wollte ich durch a_n > a_n+1 zeigen, dass die Folge monoton fallend ist.

Die Ungleichung die ich am Ende erlangte sieht aus wie folgt:

\( 0<3 n^{5}+n^{4}-8 n^{3}-10 n^{2}-5 n+1 \), für \( n \geq 3 \)

Nun habe ich zwei Fragen:

1. Muss ich eine Induktion durchführen, um die Ungleichung zu beweisen oder genügt schon die bewiesene Konvergenz?

2. Wenn die Ungleichung dann bewiesen ist, Ist dadurch schon gezeigt, dass es sich um eine Nullfolge handelt, da a.) die rechte Seite der Ungleichung divergent ist und b.) Sowohl Nenner als auch Zähler nur positiv sein können?

Answer 1

Hier liegt wohl ein Missverständnis vor.

Das Quotientenkriterium benutzt man ggf. bei Reihen, nicht bei Folgen.

Den Nachweis, daß die Folge eine Nullfolge ist, führt man z.B. so:

$$0 \leq \frac{n^{3}}{\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}} = \frac{n^3*n!*n!}{(2n)!}= \frac{n^3*n!}{(n+1)(n+2)…(n+n)}\leq 6\frac{4*5…*n}{(n+4)(n+5)…(n+n)} \leq \frac{24}{n + 4}$$

Da der Nenner sehr viel schneller wächst als der Zähler, konnte man mehrfach grob nach oben abschätzen. Der Ausdruck auf der rechten Seite konvergiert für n gegen ∞ gegen Null und damit dann auch die gegebene Folge.

Answer 2

Das Quotientenkriterium reicht hier.

Falls dich die Details interessieren, ist hier der Beweis:

Wir haben ja

\(\lim_{n \to \infty} \vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \vert = \frac{1}{4}\).

Nach Definition des Limes finden wir nun ein \(N\) mit

\(\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \vert < \frac{1}{3}\)

für alle \(n \ge N\) (Man hätte hier statt \(\frac{1}{3}\) auch jede andere Zahl zwischen \(\frac{1}{4}\) und \(1\) nehmen können).

Induktiv kann man nun zeigen, dass

\(0 \le \vert a_{N+n} \vert \le (\frac{1}{3})^n \vert a_N \vert\)

ist. Aus dem Sandwichlemma folgt dann

\(\lim_{n \to \infty} \vert a_n \vert = 0\),

die \(a_n\) bilden also eine Nullfolge.

Comments

Es gibt kein explizites Quotientenkriterium für Folgen.

Man kann natürlich (von hinten durch die Brust geschossen) die REIHE:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^{3}}{\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}}$$

betrachten und dafür das Quotienkriterium anwenden  und somit die Konvergenz der Reihe beweisen.

Damit ist man dann allerdings auch schon fertig, denn eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ist, das die Folge eine Nullfolge ist, was man ursprünglich ja zeigen wollte.