Inverse Funktion ableiten

Question

wie man allgemeine eine inverse Funktion bestimmt ist mir klar. Sei y=3x+4, bildet man die inverse indem man nach x auflöst, und am Ende x und y vertauscht. Zur zeit präge ich mit das Vorgehen ein um eine inverse Funktion abzuleiten. Zunächst einmal leite ich die gegebene Funktion ab und stelle die abgeleitete Funktion nach x um.
Wenn ich f(x) := x^5 +3x^3 +6x -3 ableite, erhalte ich f '(x) := 5x^4 + 9x^2 + 6

nur wie stelle ich dann diese Funktion nach x um?

Answer 1

Hi,

wenn \( f^{-1} \) die inverse Funktion zu f(x) ist, dann gilt \( f(f^{-1}(y))=y \) Ableiten nach der Kettenregel ergibt \( f'(x)\cdot (f^{-1})'(y)=1 \) also \( (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)} \)

 

s. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Comments

Hi, also geht es hier gar nicht primär darum die inverse Funktion zu finden, sondern nur um die Ableitung der inversen Funktion? Ich leite also einfach die gegebene Funktion ab, setze diese Ableitung in die Formel 1/f'(x) ein und habe somit die Ableitung meiner inversen Funktion?

Es ist also im Endeffekt eine schnellere Methode, anstatt erst die inverse Funktion zu ermitteln und diese dann abzuleiten?

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@ullim
Ich glaube nicht, dass mit dem von dir angezeigten Verfahren die
1.Ableitung der Umkehrfunktion ermittelt werden kann.

Ich nehme ein einfaches Beispiel
f ( x ) = x^2
Die Umkehrfunktion nenne ich g ( x )
g ( x ) = √ x
Die 1.Ableitung ist
g ´( x ) = 1/2 * x^{-1/2} oder in anderer Schreibweise
g ´( x ) = 1 / ( 2 * √ x )

Zeig mir bitte einmal wie du dieses Ergebnis herleitest.

mfg Georg

Answer 2

Die suchst die 1.Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion.
f ( x ) = 3 * x + 4 oder
y = 3 * x + 4
Umkehrfunktion bilden. Ich vertausche bereits jetzt x mit y dann kann
ich wie gewohnt nach um y umstellen
Umkehrfunktion
x = 3 * y + 4
x - 4 = 3 * y
y = x / 3 - 4 /3
die Umkehrfunktion nenne ich einmal g ( x )
g ( x ) =  x  / 3 - 4 / 3
1.Ableitung bilden
g ´ ( x ) = x / 3

Den Weg zunächst die 1.Ableitung zu bilden wird wahrscheinlcih
nicht funktionieren. Siehe meinen Kommentar an Ullim.

mfg Georg

Comments

Also die Formel  $$g'(yo)=\frac { 1 }{ f'(xo) }$$ habe ich in meinem Buch stehen.

Angenommen ich habe f(x) = x^5 +3x^3 +6x - 3

Um die Formel oben nutzen zu können, benötige ich die Ableitung von f(x)

Das wäre f'(x)=5x^4 + 9x^2 + 6

Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass f eine inverse Funktion g hat. Bestimmen Sie g'(7). Beachten Sie, dass f(1) = 7 ist.

Ich habe also g'(7)=1/f'(1) = g'(7)= 1/20

x₀ und y₀ sind ja jeweils Punkte, wobei y₀ gegeben sein muss, wenn ich die Steigung in einem bestimmten Punkt ermitteln soll. Aber wie erhalte ich mein x₀?

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Hi,

hier erstmal ein Link wo Beispiele gerechnet werden,

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/ableitung2.pdf

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/inverse-funktion-bilden-und-ableiten.html

und jetzt zu dem Beispiel von Dir. Ich gehe gebauso vor wie in den angegebenen Links oben.

$$ (1)\quad y=f(x)=3x+4 $$
$$ (2)\quad x=g(y)=\frac{y-4}{3} $$
$$ (3)\quad f'(x)=3 $$
$$ (4)\quad g'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{3} $$

Das ist auch das richtige Ergebnis wie man durch nachrechnen bestätigen kann.Bei Dir ist noch ein Rechenfehler beim differenzieren drin, deshalb hast Du \( \frac{x}{3} \) herausbekommen.

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Mir ist nicht klar wie ich mein x₀ für die Formel rausbekomme. Wenn ich x₀ gegeben habe, kann ich y₀ ja einfach so ermitteln:

x₀ gegeben, y₀ fehlt:

Um y₀ zu bekommen, setze ich x₀ einfach in meine Ausgangsfunktion ein. y₀=f(x₀)

Was mache ich aber wenn:

y₀ gegeben, x₀ fehlt?

Das wäre ja quasi die obige Aufgabe: 

"Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass f eine inverse Funktion g hat. Bestimmen Sie g'(7). Beachten Sie, dass f(1) = 7 ist." Ohne den letzten Satz: f(1) = 7. Hier wird mir ja mein x₀ durch 1 vorgegeben.

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Hi,

korrekter Weise müsste es heissen \( (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \) Da aber y=f(x) gilt, ist wohl die Schreibweise \( x=f^{-1}(y) \) auch üblich. Man sieht aber an der oberen Schreibweise, dass man Kenntnis von der inversen Funktion haben muss, wenn man die Ableitung der inversen Funktion ausrechnen möchte.

In dem Beispiel ist das aber nicht simpel, da dort ein Polynom 5-ten Grades steht. Für das einfache Beispiel y=3x+4 kann man das ja leicht nachrechnen, wie ich oben geschrieben habe.

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Hi,

so jetzt zum Abschluss. Das es eine inverse Funktion gibt, beweist Du dadurch, dass Du nachweisst, das die erste Ableitung überall größer 0 ist und damit streng monoton steigend ist und deshalb auch invertierbar ist. Das dem so ist, sieht man daran, dass die erste Ableitung nur gerade Potenzen hat und nur positive Koeffizienten. D.h. sie symmetrisch zur y-Achse.

So und jetzt zu Ableitung. Die Kenntnis über die inverse Funktion hast Du ja, zumindest in einem Punkt, nämlich in x=1 und y=7.

Also gilt \( g'(7)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{20} \) so wie Du auch ausgerechnet hast. Wie Du aus der Formel oben erkennen kannst muss \( x_0=1 \) und \( y_0=7 \) gelten.

Ich hoffe jetzt wird der Wirrwarr, der geschrieben wurde klarer.

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Allgemeine Bemerkung : das Forum ist ja dazu da Fragen zu klären, auch wenn
manchmal jede Menge " wirrwarr " durchlaufen werden muß. Meine Meinung.

Die Frage wurde verkompliziert  weil der Fragesteller nicht den kompletten
Fragetext eingestellt hat.
" f(x) = x^5 +3x^3 +6x - 3
Zeigen Sie, dass f eine inverse Funktion g hat.
Bestimmen Sie g'(7). Beachten Sie, dass f(1) = 7 ist.
Ich habe also g'(7)=1/f'(1)... "

Die Umkehrfunktion sollte nicht bestimmt werden ( sowohl ich als auch
mein Matheprogramm haben dies nicht geschafft ) sondern
nur der Nachweis erbracht werden das es eine Umkehrfunktion gibt.
Dies hat ullim schön nachgewiesen.

Für einen bestimmten Punkt x = 7 sollte die Steigung bestimmt werden.
Dies war relativ einfach.

Die Artikel von ullim werde ich einmal durcharbeiten. Ich bin ja auch noch
zum Lernen hier.

mfg Georg

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Hi georgborn,


mit Deinen Aussagen hast Du Recht. Die Aufgabenstellung war nicht vollständig und somit haben wir alle ein bisschen im Nebel rumgestochert. Mit Wirrwarr wollte ich keinen beleidigen.

Sachlich noch soviel, mit der angegebenen Methode kann man numerisch die Ableitung der inversen Funktion für jeden Punkt berechnen nicht aber unbedingt die Funktion bestimmen in Form eines expliziten Ausdrucks.

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Hallo ullim,

  ich denke durch den Gebrauch des Wortes  " wirrwarr " hast du niemanden
beleidigt. War doch zutreffend und nichts ungewöhnliches.
Wie bekannt lernt man ja an Schwierigkeiten oder Problemen
am meisten.

mfg Georg