Inverse einer quadratischen Matrix

Question

Aufgabe a)

Berechnen Sie die Inverse der Matrix \( \mathrm{A} \in \mathbb{R}^{3,3} \) mit Hilfe der NZSF (Gauß).

$$ A=\left[\begin{array}{ccc} -5 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right] $$

\( \left[\begin{array}{ccc|ccc}-5 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \)

Aufgabe b)

Berechnen Sie die Inverse der Matrix \( \mathrm{B} \in \mathbb{R}^{3,3} \) mit Hilfe der NZSF (Gauß).

$$ B=\left[\begin{array}{ccc} -3 & -3 & -3 \\ -3 & -2 & 3 \\ -4 & -3 & 4 \end{array}\right] $$

\( \left[\begin{array}{ccc|ccc}-3 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & -3 & 4 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \)

Answer 1

$$\left( {\begin{matrix} -5 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$$$I\leftrightarrow III$$$$\left( { \begin{matrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -5 & 0 & -1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} } \right)$$$$III=3*III+5*I$$$$\left( { \begin{matrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & -3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix} } \right)$$$$III=III+10*II$$$$\left( { \begin{matrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 10 & 5 \end{matrix} } \right)$$$$I=I+2*II$$$$\left( { \begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 10 & 5 \end{matrix} } \right)$$$$I=I:3$$$$II=II*(-1)$$$$III=III:(-3)$$$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 & 2/3 & 1/3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -10/3 & -5/3 \end{matrix} } \right)$$

Die Inverse zur Matrix$$A=\left( \begin{matrix} -5 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{matrix} \right)$$ist also:$${ A }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} 0 & 2/3 & 1/3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -10/3 & -5/3 \end{matrix} \right)$$

B versuche nun bitte mal selber. Du musst die linke Teilmatrix durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix umformen. Die rechte Teilmatrix ist dann die gesuchte Inverse.

Zur Kontrolle:

Die Inverse zu B ist: $${ B }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} -1/6 & -7/2 & 5/2 \\ 0 & 4 & -3 \\ -1/6 & -1/2 & 1/2 \end{matrix} \right)$$