Wie berechne ich den Grenzwert (Folge) von a_n = (-3n²)/(5+n³)

Question

Hallo liebe Mathe-Helfer,

eine Frage zur Grenzwert-Berechnung bei Folgen und Reihen.

Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

$$ a _ { n } = \frac { - 3 n ^ { 2 } } { 5 + n ^ { 3 } } $$

Ich habe schon gelernt, dass der Schritt ist, den dominanten Term (z.B. die höchste Potenz) in Zähler und Nenner herauszuziehen.

Dann sähe das ganze im nächsten Schritt folgendermaßen aus:

$$ a _ { n } = \frac { n ^ { 2 } ( - 3 ) } { n ^ { 3 } \left( \frac { 5 } { n ^ { 3 } } + 1 \right) } $$

Frage 1: Habe ich an dieser Stelle schon einen Fehler gemacht?

Frage 2: Wie gehe ich als nächstes vor?

Frage 3: Gibt es allgemeine Regeln, nach denen man vorgehen kann, um Grenzwerte für Folgen / Reihen zu berechnen?

Answer 1

Deine Umformung ist an sich ok. Schlauer ist, wenn du unten nur n^2 ausklammerst, dann kannst du die n^2 oben und unten wegkürzen.

Nun hat

an = -3/ (5/n^2 + n)

oben den konstanten Wert -3

Die Summe unten geht gegen unendlich.

Grenzwert der Folge (an) ist deshalb 0.

Zur Zusatzfrage: Schau mal die Antworten zu unten angezeigten ähnlichen Fragen an. Ich nehme an, dass du diese Frage dann selbst beantworten kannst.

Answer 2

Du muss n^2 ausklammern, dann steht da:

n^2 * (-3) / n^2 * ( 5/n^2 + n)

n^2 kürzt sich weg..

=> -3\ 5\n^2 +n => -3\ 0+n => -3\n

und das ganze konvergiert gegen 0.

hoffe das es so richtig ist :)