Wie lautet der Grenzwert der Zahlenfolge: an = (-3n²)+(4n)-(7) / (n²)

Question

Aufgabe:

Wie lautet der Grenzwert der Zahlenfolge:

$$ a_n = \frac { -3n²+4n-7 }{ n² } $$

1. Grenzwertvermutung

2. Nachweis

3. Ab welchem Index befinden sich alle Zahlenfolgeglieder in der E-Umgebung von g, wenn \( E = \frac { 1 }{ 1000 } \)?

Ich würde gerne wissen, wei ich das später selber ausrechenen kann.

Answer 1

der Grenzwert berechnet sich wie folgt:

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-3n^2 + 4n - 7}{n^2} \)

\( = - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2 }{n^2} + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n}{n^2} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{7}{n^2} \)

\( = - \lim_{n \rightarrow \infty} 3 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{7}{n^2} \)

\( = - 3 + 0 - 0 = - 3 \).

Für welches \( N \)  gilt für alle \( n \geq N \)

\( \left| - 3 - \frac{-3n^2 + 4n - 7}{n^2} \right| < \frac{1}{1000} \)?

\( \left| \frac{4}{n} - \frac{7}{n^2} \right| < \frac{1}{1000} \),

\( 0 < n^2 - 4000n + 7000 \).

Die rechte Seite hat gemäß p-q-Formel zwei Nullstellen: \( n_1 = 3998,24... \) und \( n_2 = 1,75... \).

Die erste Nullstelle ist offenbar relevant und die nach oben offende Parabel in \( n \) ist größer 0 für alle \( n > 3998,24 \). Da aber \( n \) in der Zahlenfolge ganzzahlig ist, runden wir auf und die Antwort lautet:

\( N = 3999 \).

MfG

Mister

Comments

OK,

erstmal vielen Dank! Da hast du dir sicher sehr viel Mühe gegeben.


Ich habe dennoch ein paar Fragen:

die Aufgabe 1, Grenzwertvermutung, ist also mit -3 abgeschlossen.

2. Dieses Ergebnis muss nun nachgewiesen werden. Das hast du auch gemacht, glaube ich.

Könntest du nochmal bitte kommentieren wie du auf

0<n2−4000n+7000 gekommen bist?


3. Bei der 3. Aufgabe bin ich mir nicht so sicher. Soll das heißen, dass ab dem 3991ten Zahlenfolgeglied alle weiteren in der Epsilon-Umgebung von g=-3 sind?

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Zu 2.: Ich habe so Pi mal Daumen geschätzt, dass 7/n^2 langfristig gesehen (also für große n) größer als 4/n ist und habe dann deswegen die Betragsstriche weggelassen und alles in eine normierte quadratische Gleichung umgewandelt, um deren Nullstellen berechnen zu können.

Zu 3.: Ja, das soll es heißen (kannst du gerne mal für 3998 und 3999 nachrechnen).

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PS: An die Mühe solltest du dich gewöhnen, falls du es später selbst rechnen können willst. Der geübte Blick erkennt den Grenzwert -3 übrigens sofort und muss die Grenzwerte nicht noch berechnen und hinschreiben.

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ich habe mir das erstmal angeschaut und weiß eigentlich auch wie das geht. Ich finde nur halt, dass diese Aufgabe sehr schwer ist.

Ich zeige den Vorgang jetzt nochmal an einer leichteren Aufgabe:

$$ an=\quad 1-\frac { 1 }{ n } $$

1. Grenzwertvermutung: g=1 (würde gerne wissen wie man das mit einem Blick erkennt) hier erkennt man es ja ganz leicht:

$$ an=\quad \frac { n+1 }{ 2n } $$
$$ g=\quad \frac { 1 }{ 2 } $$

2. Nun wieder zur Aufgabe zurück:

$$ \left| { a }_{ n }-g \right| \quad <\quad \epsilon $$

Nun einsetzen:

$$ \left| 1-\frac { 1 }{ n } -1 \right| \quad <\quad \epsilon $$

$$ \left| -\frac { 1 }{ n }  \right| \quad <\quad \epsilon $$                              $$ | \times n$$

$$ 1\quad <\quad \epsilon \quad \times\quad n $$                                             $$ | : \epsilon $$

$$ \frac { 1 }{ \epsilon  } \quad <\quad n\quad \quad \quad \quad \quad ->\quad w.\quad A.,\quad weil\quad es\quad immer\quad ein\quad größeres\quad n\quad gibt $$

1 ist der Grenzwert der Zahlenfolge $${ lim }_{ n-\infty  }\quad ( 1-\frac { 1 }{ n })=\quad 1$$

3. Ab welchem Index befinden sich alle Zahlenfolgeglieder in der Epsilonumgebung von g=1, wenn

$$ \epsilon =\frac { 1 }{ 1000 } $$  ?

$$ \left| { a }_{ n }-g \right| \quad <\quad \epsilon $$

................

→ \( \frac { 1 }{ \epsilon  } \quad <\quad n \) ( wie oben)
nun: \( | \epsilon =\frac { 1 }{ 1000 } \) (Kehrwehrt bilden)

und es kommt heraus: $$ \frac { (1)\times 1000 }{ 1 } $$

A: Ab dem 1001. Zahlenfolgeglied liegen alle weiteren in der Umgebung.

Ich finde das so ganz einfach nur ich kann immer noch nichts mit der schweren Aufgabe anfangen, weilc ich sie nicht in dieses Schema einordnen kann.

(macht echt Spaß mit dem Formeleditor zu arbeiten)

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Ihr könnt euch ja mal meinen Ansatz dazu anschauen, an den beiden roten Stellen bin ich mir nicht so sicher.

So ich weiß jetzt schonmal wie man eine Grenzwertvermutung leicht aufstellen kann. Den Rest habe ich einfach aus dem Video kopiert.

Nun will ich nur noch einen "vernünftigen" Nachweis machen. Am besten so wie ich es in der Schule habe. Das habe ich ja weiter oben gut gezeigt. So will ich das auch für diese Aufgabe haben.

Könnt ihr vielleicht nochmal auf das Bild eingehen, ob ich es korrekt gerechnet habe?

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also wenn du dir meine Antwort nochmal ganz genau ankuckst (vor allem die ersten vier Formelzeilen), verstehst du vielleicht, warum das geübte Blicke so schnell erfassen können.

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Also ich habe die Variante aus dem Video genommen und fand diese auch viel einfacher.

Deine Variante habe ich auch verstanden, weiß aber nicht wie man die bei allen Aufgaben einsetzen kann.

Ich habe ja schon bereits ein Beispiel gezeigt, wo ich nicht weiß wie dein Beispiel funktionieren würde.

$$ 1=\frac { 1 }{ n } $$

Klar, der geübte Blick erkennt sofort die 1 als Grenzwert aber wie verhält sich hier deine Rechnung?

Und noch eine Sache: Es heißt doch $$ \left| { a }_{ n }-g \right| \quad <\quad \epsilon $$

und nicht anders herum? Hast du dich verschrieben oder ist das egal?

Außerdem verstehe ich das hier nicht:

$$ \left| \frac { 4 }{ n } -\frac { 7 }{ n² } \right| \quad <\quad \frac { 1 }{ 1000 } $$

Würde das nicht heißen: Der Betrag von 0-0 ist kleiner als $$ \epsilon $$?

Ok.

Ich wollte eigentlich nur fragen ob du die Variante aus dem Video kennt, was du davon hältst und ob du dir vorstellen kannst meine Aufgabe damit zu lösen.

LG

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in der Formel \( 1 = \frac{1}{n} \) erkennt der geübte Blick keinen Grenzwert, da ja gar kein \( \lim \) da steht. Vielmehr erkennt der geübte Blick, dass n = 1 gilt.

Für die Betragsfunktion gilt, dass sie symmetrisch ist:

|a - b| = |b - a|,

somit ist egal, ob die Differenz (a - b) oder das Negative der Differenz -(a - b) = b - a benutzt wird.

Bei \( \left| \frac { 4 }{ n } -\frac { 7 }{ n^2 }  \right| < \frac { 1 }{ 1000 } \) steht nicht 0 - 0 in den Betragsstrichen. Das solltest du nochmal überdenken.

MfG

Mister