Grenzwert lim ((4n-3)/(4n+1))^(2n) Rechenweg.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert folgender Zahlenfolge:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( (\frac{4n-3}{4n+1})^{2n} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß bereits, dass der Grenzwert 1/(e^2) ist und ich somit die Formel (1+(1/x)^x=e nutzen sollte. Die Umstellung bereitet mir aber Probleme. Vielleicht kann man, da 1/(e^2)=e^-2 ist, die Formel (1+(-2/x))^x nutzen? Danke schonmal für die Hilfe.

Comments

(4n-3)/(4n+1) = 1- 4/(4n+1) = 1- 1/(n+1/4)

Answer 1

Für n→∞ geht das gegen 1/e².

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Bist du dir sicher damit, dass der Grenzwert 1 ist? Für hohe n komme ich immer näher an den Wert 1/e^2. Wenn ich statt ^2n nur ^2 hätte, würde die Folge gegen 1 konvergieren.

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Für n→∞ geht das gegen

Das ist falsch.

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Meine Antwort war falsch. Habe sie korrigiert.

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Kannst du ausführen, wie man auf die 1/e^2 kommt? Danke

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Kannst du ausführen, wie man auf die 1/e² kommt?

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4n-3}{4n+1}\right)^{2n} \\= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-\frac34}{n+\frac14}\right)^{2n} \\= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+ \frac14-1}{n+\frac14}\right)^{2n} \\= \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n+\frac14}\right)^{2n} \\= \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n+\frac14}\right)^{n \cdot 2} \\= \lim_{n \to \infty}\left( \left(1-\frac{1}{n+\frac14}\right)^n\right)^{2} \\= \left(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n+\frac14}\right)^n\right)^{2} \\= \left( \frac 1e\right)^2$$

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Super, vielen Dank!

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Noch ein Hinweis zum letzten Schritt. Im Detail geht das IMHO so:

man substituiert \(m = n+\frac 14\)$$\\\phantom{=} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n+\frac14}\right)^n \\= \lim_{m \to \infty} \left(1-\frac{1}{m}\right)^{m-\frac14} \\= \lim_{m \to \infty} \left( \left(1-\frac{1}{m}\right)^{m} \cdot \left(1-\frac{1}{m}\right)^{-\frac14} \right) \\= \lim_{m \to \infty} \left(1-\frac{1}{m}\right)^{m} \cdot \lim_{m \to \infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{-\frac14} \\ = \frac 1e \cdot 1$$Und das Produkt kann in zwei Limes-Terme geteilt werden, da jeder Faktor zu einem endlichen Grenzwert strebt.