Zeigen Sie, dass die Folge (an) mit an=(1000)/(4+6*2^(-0,4n)) den Grenzwert g=250 besitzt.

Question

Aufgabe: (2 Teilaufgaben)

Zeigen Sie, dass die Folge (an) mit an=(1000)/(4+6*2^(-0,4n)) den Grenzwert g=250 besitzt. (2 Teilaufgaben)

1) |(1000)/(4+6*2^(-0,4n))-250| <(1)/(100)

2)|(1000)/(4+6*2^(-0,4n))-250| <Ɛ

Problem/Ansatz:

Ich verzweifle derzeit an dieser Aufgabe und weiß nicht recht, wie ich diese lösen soll. Ich soll diese ohne Hilfe eines CAS lösen.

Answer 1

|(1000)/(4+6*2^(-0,4n))-250| <(1)/(100)

<=>  250-1/100   < (1000)/(4+6*2^(-0,4n)) < 250+1/100

<=>  249,99   < (1000)/(4+6*2^(-0,4n)) < 250,01

Der Nenner ist immer positiv also

<=>  249,99 * (4+6*2^(-0,4n)) < 1000 < 250,01 * (4+6*2^(-0,4n))

<=>  999,96 +1499,94*2^(-0,4n)) < 1000 < 1000,04+1499,94*2^(-0,4n))  

<=>  -0,04 +1499,94*2^(-0,4n)) < 0 < 0,04+1499,94*2^(-0,4n)) 

Da 0,04+1499,94*2^(-0,4n)) immer positiv ist, braucht nur

-0,04 +1499,94*2^(-0,4n)) < 0 betrachtet zu werden

<=>1499,94*2^(-0,4n)) < 0,04    | :1499,94

<=>2^(-0,4n)) < 0,000026668

Das ist sicher erfüllt, wenn 2^(-0,4n)) < 0,00002   gilt .

<=>   -0,4n*ln(2) < ln(0,00002)

<=>  -0,4n < ln(0,00002) / ln(2) 

<=>  n >   ( ln(0,00002) / ln(2) ) /  -0,4  ≈ 39,02

Also ist die gegebene Ungleichung für alle n > 39 erfüllt.

Answer 2

Du sollst beide Ungleichungen unter Verwendung von Rechenbefehlen nach n umstellen.

Zeige mal dein Vorgehen für die erste Ungleichung.

Comments

Das hat mathef dir nun gerade abgenommen.

Übertrage sein Vorgehen auf die zweite Ungleichung!