Granzrationale Funktion dritten Grades. f(x) = -1/2x^3 +bx^2 -1. b bestimmen.

Question

Hi,

komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter:

Bestimmen Sie b so, dass f an der x = -2 eine Extremstelle bestizt. Welche Art von Extremum liegt vor?

f(x) = -1/2x^3 +bx^2 -1

Gruß

Comments

Okay, hab nen Hochpunkt bei (2/1) rausbekommen. Denke, das stimmt so, hat sich also erledigt.

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Okay, Tiefpunkt liegt bei T(-2/-3) und Hochpunkt bei H(0/-1). Hatte das Vorzeichen vergessen. Vielleicht interessiert es ja jemanden, der diese Aufgabe auch irgendwann rechnet. :)

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Bei (2|1)? Die Frage war ja nach -2, und du solltest das b ausrechnen, darum zeige ich mal den Lösungsweg:

Zuerst solltest du die Funktion ableiten:

f'(x) = -1,5x² + 2bx

Dann setzt du sie gleich 0, und für x musst du einfach -2 einsetzen, da die Stellé ja bei -2 war:

0 = -1,5·(-2)² + 2b·(-2) = -1,5·4 - 4b = -6 - 4b | +6
6 = 4b | :4
b = 1,5

Die Art des Extremums stellst du durch Einsetzen in die zweite Ableitung fest, die du erst aufstellst:

f''(x) = -3x + 2b

Jetzt setzt du für x -2 ein und für b 1,5:

f''(-2) = -3·(-2) + 2·1,5 = 6 + 3 = 9

Da die zweite Ableitung positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Gruss,
Florian

Answer 1

f(x) = -1/2x³ +bx² -1

Extremstelle bei x=-2 heisst: f ' (-2) = 0

f ' (x) = -3/2 x^2 + 2bx = 0      

f ' (-2) = -3/2 (-2)^2 + 2b(-2) = 0  

-12/2 - 4b=0

-6 = 4b

-1.5 = b

Nun 2. Ableitung ausrechnen

f ' (x) = -3/2 x^2 - 3x = 0

f ' '(x) = -3x - 3

f ' ' (-2) = 6 - 3 = 3 > 0

Daher ist es ein Tiefpunkt.  fertig. 

f(-2) = -1/2 (-2)^3 - 1.5(-2)^2 -1 

= 4 - 6 - 1 = -3

T(-2 | -3) ist nicht gefragt, hattest du aber richtig.

Kontrolle: Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+-1%2F2+x%5E3+-3%2F2+x%5E2+-1