Aufgabenstellung unklar: Soll ich alle Extremstellen berechnen oder gibt es einen anderen Weg?

Question

Aufgabe:

Nr.7 a: "Bestätigen sie, dass die Funktion an der Stelle x=√2 ein Maximum annimmt."

Problem/Ansatz:

1. Alle Extremstellen von f berechnen.

--> Problem: Nr.7 b will das Minimum wissen, und c "berechnen sie ohne weitere Rechnung alle Extremstellen von f"

Steht das nicht in Kontrast mit dem Lösungsansatz 1 von mir?

Hauptfrage:

Gibt es einen anderen Weg die Lösung für Nr.7 a zu finden außer alle Extremstellen zu berechnen?

Funktion: $$\frac{1}{20}•x^5-\frac{2}{3}•x^3+3•x$$

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Gib einmal den Originaltext an oder stell´
eine Foto ein. Ich werde aus dem Wirrwarr
nicht schlau.
Die Aussage
"berechnen sie ohne weitere Rechnung"
ist Unfug.
Was denn nun : rechnen oder nicht
rechnen ?

Answer 1

Gibt es einen anderen Weg die Lösung für Nr.7 a zu finden außer alle Extremstellen zu berechnen?

f(x) = 1/20·x^5 - 2/3·x^3 + 3·x

f'(x) = 1/4·x^4 - 2·x^2 + 3

f''(x) = x^3 - 4·x

f'(√2) = 1/4·√2^4 - 2·√2^2 + 3 = 1/4·4 - 2·2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 → Eventuell Extrempunkt.

f''(√2) = √2^3 - 4·√2 = 2·√2 - 4·√2 < 0 → Maximum

Answer 2

Aufgrund des Verhaltens im Unendlichen ist der Funktionswert an der Stelle √2 kein globales Maximum.

Eine saubere Aufgabenstellung hätte den Nachweis eines LOKALEN Maximums verlangt.

Die Funktion ist als ungerade Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Mit der Kenntnis von zwei Extrempunkten kennt man damit unter Ausnutzung der Punktsymmetrie ohne weitere Rechnung die beiden übrigen Extrempunkte (und mehr als 4 kann eine Funktion fünften Grades nicht haben).

Comments

Mit der Kenntnis von zwei Extrempunkten  ...

kommt drauf an, welche das sind.

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Mit der Kenntnis von zwei Extrempunkten kennt man damit unter Ausnutzung der Punktsymmetrie ohne weitere Rechnung die beiden übrigen Extrempunkte

Das bezweifle ich...

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Ja, die "richtigen" müssen es schon sein.

Answer 3

Zu $$ f(x) = \dfrac{1}{20}\cdot x^5-\dfrac{2}{3}\cdot x^3+3\cdot x $$ lautet die Ableitung $$ f'(x) = \dfrac{1}{4}\cdot x^4-2\cdot x^3+3\\ \phantom{f'(x)} = \dfrac{1}{4}\cdot\left(x^2-6\right)\cdot\left(x^2-2\right). $$ Sie besitzt offenbar die maximal möglichen vier Nullstellen. Es müssen einfache Nullstellen, also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sein. Dies sind also genau die Extremstellen von f. Aus dem Kurvenverlauf folgt noch die Reihenfolge der Extremstellenarten, es sind, v.l.n.r.: Hoch- (x=-√(6)), Tief- (x=-√(2)), Hoch- (x=√(2)) und Tiefstelle (x=√(6)).

(Ob die Aufgabe so gemeint ist, weiß ich nicht.)