Ich bin ja immer für die Zaubertricks:
f_a ' ( x ) = 3 ( a x ² + 2 x + 1 ) = 0 ( 1a )
g ( x ) := 1/3 f ' = ( a - 1 ) x ² + ( x + 1 ) ² ( 1b )
Fallunterscheidung; a Propos Fallunterscheidung . Im ZDF Studienführer kam mal, wenn du das Mathestudium hast, nimmt dich jede Perso mit Kusshand - weil die nämlich wissen, dass du FALLUNTERSCHEIDUNG gelernt hast.
Dein Chef sagt dir, welche Aktionen dein Programm auslösen soll, wenn es mit Error abschmiert. Der legt dir aber keine vollständige Disjunktion vor, hat meist nicht alle Konsequenzen bedacht. Dazu hat der viel zu wenig Zeit; wozu hat der schließlich dich?
( Ich als promovierter Physiker entstamme einem Welt_Elektronikkonzern; bei einem schwierigen Problem meinte mein Chef " Onkel Bernd " mal )
" Ich habe nur gesagt, machensich paar Gedanken, wie es gehen KÖNNTE .
Wenn ich es alleine schaffen würde - wozu brauchte ich dann Sie? " )
Also meine Fallunterscheidung geht so: Fall 1 : a > 1
Dann hast du in ( 1b ) offenbar die Summe aus zwei reellen Quadraten; und die ist Null genau dann , wenn jeder Summand für sich verschwindet.
x = 0 ^ x = ( - 1 ) ; Widerspruch ( 2 )
Fall 2 ; a = 1 Dann hast du in ( 1b ) die Doppelwurzel x1;2 = ( - 1 ) Ich sage ja immer
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Der Fachmann weiß: So bald die erste Ableitung eine doppelte Nullstelle hat, liegt ein ===> Terrassenpunkt vor. Machen wir die Probe.
Nein; für Wendepunkt braucht's keine 2. Ableitung. Viel zu kompliziert um sieben Ecken gedacht; du gehst immer aus von der Normalform. Und in deinem Fall ist die für a = 1 eh automatisch gegeben. Dann gilt
x_w = - 1/3 a2 = ( - 1 ) ( 3 )
Na wer sagt denn, dass der Löwe kein Schmalz frisst?
Fall 3 ; 0 < a < 1
Ich setze noch
1 - a =: b ² ; b > 0 ( 4a )
Dann folgt mit der 3. binomischen Formel
g ( x ; a ) = ( x + 1 ) ² - ( b x ) ² = ( 4b )
= ( x + 1 + b x ) ( x + 1 - b x ) = ( 4c )
= [ 1 + ( 1 + b ) x ] [ 1 + ( 1 - b ) x ] = 0 ( 4d )
Satz vom Nullprodukt
x_max = - 1 / ( 1 - b ) ; x_min = - 1 / ( 1 + b ) ( 5a )
( Macht euch ( 4a ) bitte klar, dass nicht nur a , sondern auch 0 < b < 1 ) ( Die Minuszeichen in ( 5a ) darfst du nie verbergen; das wäre genau so falsch, wie Brüche nicht zu kürzen. )
Woher weiß ich jetzt auf einmal, was Min und was Max ist?
" Sie singen immer wieder die selbe Melodie ... "
Und zwar verlaufen alle kubischen Polynome PUNKT SYMMETRISCH zu ihrem Wendepunkt; die Extremata liegen immer Spiegel symmetrisch.
Rein von der Asymptotik gehen alle Polynome rechts gegen ( + °° ) ; dass RECHTESTE Extremum ist stets ein MINIMUM .
Fall 4 ; a = 0 Dann ist dein Polynom gar nicht mehr kubisch
f ( x ; 0 ) = 3 ( x ² + x ) ===> x_min = ( - 1/2 ) ( 5b )
( Wir befinden uns in Übereinstimmung mit ( 5a ) ; du musst setzen b = 1 )
Dann ereignet sich aber bei dem Maximum eine Stratakofe; offensichtlich verduftet dieses nach ( - °° ) Das ist übrigens in Übereinstimmung mit unserer Wendepunktformel ( 3 ) ; in Normalform hätte dein Polynom nämlich den Koeffizienten a2 = 3 / a , und das divergiert für a ===> 0
Fall 5 a < 0 bietet nichts wirklich Neues außer dass der ===> Leitkoeffizient nunmehr negativ ist. Die Extrema tauschen die Plätze; Min links und Max rechts. Aber denkt mal selber bissele nach.
