Verzinsung, warum werden Eulersche Zahl und Wachstumsfunktion verwendet?

Question

Legt man ein Anfangskapital \( K_{0} \) zum Zeitpunkt 0 mit einem Zinssatz von \( p \) bei stetiger Verzinsung \( t \) Jahre fest, so beträgt das Endkapital

\( K(t)=K_{0} \mathrm{e}^{p t} \)

Damit wäre ein Pfennig, den man im Jahre null (an Christi Geburt) auf ein Sparbuch eingezahlt hätte, bei einem Zinssatz von \( p=3 \%=0,03 \) bis \( t=1993 \) bei stetiger Verzinsung auf einen Betrag von

\( K(1993)=1 \cdot \mathrm{e}^{0,03 \cdot 1993}=9,26 \cdot 10^{25} \quad \text { Pfennige } \)

oder \( 9 \cdot 10^{23} \in \) angewachsen.

Ansatz/Problem:

Kann mir bitte jemand erklären, warum in diesem Fall die Wachstumsfunktion verwendet wird?

Was mach hier die Eulersche Zahl für einen Sinn?

Für eine Verzinsung verwendet man ja normalerweise:

$${ K }_{ n }\quad =\quad { { K }_{ 0 }(1+p) }^{ n }\\ { K }_{ 0 }\quad =\quad 0,01€\\ p\quad =\quad 3%\\ n\quad =\quad 1993\quad Jahre\\ { K }_{ n }\quad =\quad { 0,01(1+0.03) }^{ 1993 }\quad \approx \quad { 3.84*10^{ 25 } }\\ \\ $$

Comments

DER EDITOR MACHT PROBLEME!

Er nimmt nicht an:
{ K }_{ n }\quad =\quad { { K }_{ 0 }(1+p) }^{ n }\\ { K }_{ 0 }\quad =\quad 0,01€\\ p\quad =\quad 3%\\ n\quad =\quad 1993\quad Jahre\\ { K }_{ n }\quad =\quad { 0,01(1+0.03) }^{ 1993 }\quad \approx \quad { 3.84228*10^{ 25 } }€\\ \\

Er schneidet ab dem Prozentzeichen nach der 3 ab.

\( K_{n}=K_{0}(1+p)^{n} \)
\( K_{0}=0,01 \epsilon \)
\( p=3 \% \)
\( n=1993 \) Jahre
\( K_{n}=0,01(1+0.03)^{1993} \approx 3.84228 * 10^{25} \epsilon \)

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Wenn ich 2 verschiedene Aufgaben in meinem Buch vergleiche, ist die vorliegende Aufgabe im Sinne einer "stetigen" Verzinsung gelöst.

Mein Rechenweg geht von einer "jährlichen" Verzinsung aus.

Ich verstehe nicht, warum da so und hier anders.

Gruß.

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Und den Unterschied verstehe ich natürlich auch nicht.

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Man könnte auch sekündlich, .... nanosekündlich ... verzinsen . Eine echte Herausforderung für den TR.

Aber  Mathecoach hat  das Problem ja schon wunderbar erklärt.:))

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@piknockyou: Einfach ein \ vor dem Prozentzeichen einfügen, dann wird auch geparset:

$$ { K }_{ n }\quad =\quad { { K }_{ 0 }(1+p) }^{ n }\\ { K }_{ 0 }\quad =\quad 0,01€\\ p\quad =\quad 3\%\\ n\quad =\quad 1993\quad Jahre\\ { K }_{ n }\quad =\quad { 0,01(1+0.03) }^{ 1993 }\quad \approx \quad { 3.84228*10^{ 25 } }€\\ $$

Answer 1

Die Funktion Kn = Ko * (1 + p)^n gilt für eine Jährliche Verzinsung.

Daraus machen wir jetzt mal eine Monatliche verzinsung

Kn = Ko * (1 + p/12)^{12 * n}

oder Täglich verzinsung

Kn = Ko * (1 + p/360)^{360 * n}

Verkleinern wir die Zinsabrechnungsperiode immer mehr erhalten wir den Grenzwert

Kn = lim t-->∞ Ko * (1 + p/t)^{t * n} = Ko·e^{n·p}

Comments

 Verstehe.

Und macht das einen Sinn für Zinsen?
Ist die Aufgabe nicht ein wenig weltfremd?
Bevölkerungswachsum, Bakterienvermehrung, Halbwertzeit, Abkühlungsgesetz sind doch anschaulicher ...

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In der Praxis gibt es bei Konten kaum die stetige Verzinsung. Das liegt an dem Aufwand der getrieben werden müsste.

Trotzdem gibt es auch in der Wirtschaft dieses eher theoretische Konzept.

Und Wirtschaftswissenschaftler müssen damit auch rechnen können.

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Ich finde Folgendes  interéssant:

Bei einem Jahreszinssatz von 100 % könnte man maximal das e-fache seines Kapitals am Jahresende zurückerhalten, auch wenn man immer kleinere Verzinsungszeiträume wählt. Das macht die Zahl e relativ anschaulich, denke ich.