Schritt-für-Schritt-Lösung für Schlangenrechenaufgabe (Potenzen mit negativen Exponenten)

Question

Das erste Bild zeigt die Schlange ohne die Zwischenergebnisse. Beim zweiten Bild sind die Lösungen vorhanden.

Bitte um eine ausführliche Erklärung, der jeweiligen Zwischenschritte. Haben gestern den ganzen Nachmittag rumgerechnet und kamen auf keines der Lösungen.

und lieben Dank, Heike

Comments

Eine negative Potenz heisst, dass die Zahl unter dem Bruch steht.

So ist
$$ { 16 }^{ -1 } = \frac { 1 }{ 16 } \\{ 16 }^{ -2 } = \frac { 1 }{ { 16 }^{ 2 } } = \frac { 1 }{ 256 }$$

Vielleicht reicht das schon aus...

 

Siehe sonst noch: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Ganze_negative_Exponenten

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Danke für die Hilfe, aber so weit waren wir selbst auch schon, das ist uns bekannt. Es geht uns darum, wie man auf die Lösungen kommt, sprich die Zwischenrechenschritte, z.B. x rauskürzen, erweitern, usw. Wir kommen einfach nicht auf die Zwischenergebnisse..

Answer 1

x ^{- 2} + x ² / x ³

Ersten Summanden als Bruch schreiben:

= 1 / x ² + x ² / x ³

Zweiten Bruch einmal mit x kürzen::

= 1 / x ² + x / x ²

Beide Brüche haben nun den gemeinsamen Nenner x ² , also addieren:

= ( 1 + x ) / x ²  <-  Eintrag im ersten Lösungskästchen

Nächste Rechnung:

( ( 1 + x ) / x ² ) * 2 x ^-1

Zweiten Faktor als Bruch schreiben:

= ( ( 1 + x ) / x ² ) * 2 * ( 1 / x )

= ( ( 1 + x ) / x ² ) * ( 2 / x )

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:

= ( ( 1 + x ) * 2 )  / ( x ² * x )

Zähler und Nenner ausmultiplizieren:

= (  2 + 2 x )  / x ³ <-  Eintrag im zweiten Lösungskästchen

Nächste Rechnung:

(  2 + 2 x )  / x ³ -  6 x ^{- 3}

Zweiten Faktor als Bruch schreiben:

= (  2 + 2 x )  / x ³ -  ( 6 / x ³  )

Beide Brüche haben den gemeinsamen Nenner x ³ , also subtrahieren:

= (  2 + 2 x - 6 )  / x ³

=  ( - 4 + 2 x )  / x ³ <-  Eintrag im dritten Lösungskästchen

Nächste Rechnung:

( ( - 4 + 2 x )  / x ³  ) / ( ( 2 - x ) * x ^{- 4} )

Den Nenner als Bruch schreiben:

= ( ( - 4 + 2 x )  / x ³  ) / ( ( 2 - x ) / x ⁴ )

Bruchrechenregel: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= ( ( - 4 + 2 x )  / x ³  ) * ( x ⁴ / ( 2 - x ) )

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:

= ( ( - 4 + 2 x ) * x ⁴ ) / ( x ³ * ( 2 - x ) )

Mit x ³ kürzen:

= ( ( - 4 + 2 x ) * x ) / ( 2 - x )

Aus dem ersten Faktor - 2 ausklammern:

= ( ( - 2 ) * ( 2 - x ) * x ) / ( 2 - x )

Mit ( 2 - x ) kürzen:

= ( ( - 2 ) * x ) / 1

= - 2 x <-  Eintrag im vierten Lösungskästchen

Nächste Rechnung:

( - 2 x ) / 2,5 ^{- 1}

Nenner als Bruch schreiben:

= ( - 2 x ) / ( 1 / 2,5 )

Bruchrechenregel: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= ( - 2 x ) * 2,5

Ausmultiplizieren:

= - 5 x <-  Eintrag im fünften Lösungskästchen

Nächste Rechnung:

- 5 x - 5 ^{- 2}

Nenner als Bruch schreiben:

= - 5 x - ( 1 / 5 ² )

Nenner ausmultiplizieren:

= - 5 x - ( 1 / 25 ) <-  Eintrag im sechsten Lösungskästchen

Nächste Rechnung:

= ( - 5 x - ( 1 / 25 ) ) / ( 2 x^{- 1})

Nenner als Bruch schreiben:

= ( - 5 x - ( 1 / 25 ) ) / ( 2 / x )

Bruchrechenregel: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= ( - 5 x - ( 1 / 25 ) ) * ( x / 2 )

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:

= ( - 5 x - ( 1 / 25 ) ) * ( x / 2 )

Ausmultiplizieren:

= ( - 5 x ² - ( 1 / 25 ) x ) / 2

Zähler durch 2 dividieren:

= - 2,5 x ² - ( 1 / 50 ) x

= - 2,5 x ² - ( x / 50 ) <-  Eintrag im siebten Lösungskästchen

Nächste Rechnung:

- 2,5 x ² - ( x / 50 ) + 2,5 x ²

Potenzen mit gleichem Exponenten werden addiert, indem man ihre Basen addiert:

= ( - 2,5 + 2,5 ) x ² - ( x / 50 )

= 0 x ² - ( x / 50 )

= - x / 50 <-  Eintrag im achten und letzten Lösungskästchen

Answer 2

1. Auf den selben nenner Bringen um Brüche addieren zu können

$$I:\quad { x }^{ -2 }=\frac { 1 }{ x² } \quad \quad \quad II:\quad \frac { x² }{ x³ } =\frac { x }{ x² } \quad \quad I+II:\quad \frac { 1+x }{ x² }$$

Wo genau gibt es noch probleme?