Grenzwerte - Bestimmen Sie lim x->∞ (1+(1/x))^x

Question

Bestimmen Sie:

$$ lim\quad x\rightarrow \infty \quad { (1+\frac { 1 }{ x } ) }^{ x } $$

 

Answer 1

Hi,

Das kann man fast direkt sagen. Mit der bekannteste Grenzwert -> e.

 

Ansonsten:

 

lim (1+1/x)^x = lim e^x*ln(1+1/x) = lim e^{ln(1+1/x)/(1/x)} = l'H = lim e^{(-1/(x^2+x)) / (-1/x^2)} = e^1 = e

 

Grüße

Comments

lim (1+1/x)x = lim ex*ln(1+1/x) = lim eln(1+1/x)/(1/x) = l'H = lim e(-1/(x2+x)) / (-1/x2) = e1 = e

Wieso +x?

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Das ist die Ableitung von ln(1+1/x). Probier Dich mal an dieser. Beachte die Kettenregel. Alles klar? :)

Answer 2

( 1 + 1/x )^x
lim x -> ∞  [ 1/x ] = 0
lim x -> 1^x = 1

mein Angebot.

Ich schaue gerade nochmal nach.

mfg Georg

Comments

Schau bitte bei meiner (mit korrigiertem Tippfehler) nach, wie man da rangeht ;).

Das Deinige passt leider nicht.

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Hallo Unknown, mein Matheprogramm sagt mir das du Recht
hast. Kannst du mir sagen wo in meinem Rechengang der
Denkfehler liegt ?

mfg Georg

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Du berücksichtigst nicht die "binomische Formel" wie mir scheint. Da kommt ja noch einiges an Summanden dazu. Die sind zwar auch nicht sonderlich groß, aber bewirken dennoch etwas. Immerhin gehen wir ja gegen e ;).

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@Georg: Wenn \(f:=\lim_{x\to\infty} f(x)\) und \(g:=\lim_{x\to\infty} g(x)\) existieren und \(f>0\) ist, dann ist \(\lim_{x\to\infty} f(x)^{g(x)}=f^g\).

Bei dem gesuchten Grenzwert existiert aber der Grenzwert des Exponenten für \(x\to\infty\) nicht; deswegen geht es nicht so einfach, wie du es dir gemacht hast.

Es gibt ja z.B. auch die Regel \(\lim_{x\to\infty} f(x)\cdot g(x)=f\cdot g\). Die gilt aber auch nur, falls \(f:=\lim_{x\to\infty} f(x)\) und \(g:=\lim_{x\to\infty} g(x)\) existieren.

Z.B. kann man bei \(\lim_{x\to\infty}x\cdot \frac{1}{x}\) nicht einfach sagen: \(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\), also \(\lim_{x\to\infty}x\cdot 0=\lim_{x\to\infty} 0=0\). Das Problem hier ist auch, dass \(\lim_{x\to\infty} x\) nicht existiert.

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Ich konnte den Nachweis wie von unknown angeregt nunmehr
selbst durchführen. Von allein wäre ich wohl nicht darauf gekommen.
Wieder was dazugelernt.

mfg Georg