Was heißt |Sol(A,(ein Vektor))|?

Question

\( |\operatorname{Sol}(A,\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right))| \)

Was heißt das? Die Matrix A ist gegeben. Ich habe mir jetzt überlegt, dass das sowas heißt wie Ax = (-1, 0, 1, -1) und dass man dann x₁,x₂,x₃ und x₄ bestimmen muss und dann davon den Betrag bestimmen soll, aber irgendwie ist das falsch bzw. da kommen komische Werte raus. Könnt ihr mir da eventuell helfen?

Answer 1

Sol steht hier wohl für Solution, also ist deine Gedanke wohl richtig. Für Mengen bezeichnet |M|=#M die Anzahl der Elemente der Menge M.

Comments

Die Anzahl der Elemente der Menge? Ich bekomme doch einen Lösungsvektor raus und die Anzahl der Elemente im Lösungsvektor ist doch immer gleich oder was verstehe ich gerade falsch?

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Das Gleichungssystem hat eine Lösungsmenge: Die Menge aller Lösungsvektoren. Ein Vektor hat keine Elemente, er hat Einträge, er ist in diesem kontext hier keine Menge.

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Irgendwie verstehe ich das nicht. Ich hab eine 4x5 Matrix gegeben. Die muss ich ja jetzt gleich dem Vektor setzen, aber eine 4x5 Matrix hat doch 5 Variablen und der Lösungsvektor hat nur 4 Einträge. Bin gerade irgendwie vollkommen durcheinander :/

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Vom LGS Ax=b hast du A als 4x5-Matrix und b als 4x1-Vektor gegeben. Das ist schon richtig. Und die/das zu berechnende(n) x sollte(n) demnach 5 Einträge haben.

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Ja aber wenn ich das so mache, kriege ich doch Variablen raus die abhängig von anderen Variablen sind. O.o

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Bitte wie? Gauß anwenden, fertig. Ist das das erste LGS das du lösen sollst?

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Doch, aber die Anzahl der Gleichungen muss doch eigentlich mit der Anzahl der Variablen übereinstimmen oder nicht?

Ich hab als A folgende Matrix gegeben:

Es sei \( A \in \mathbb{F}_{3}^{4 \times 5} \) gegeben durch
\( A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \)

Dann kriege ich als Gleichungen doch:

x₁ - x₂ + x₃ - x₄            = -1

x₁ + x₂                           = 0

x₁ + x₂        -x₄   + x₅   = 1

    -x₂ - x₃ +x₄             = -1

Oder sehe ich das falsch? Wie löse ich das denn auf ohne, dass eine Variable von anderen abhängt?

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Nein, die Anzahl der Gleichungen und Variablen muss nicht übereinstimmen. Schlag mal über bzw. unterbestimmes LGS nach. Und im Körper \( \mathbb F_3\) gibt es keinen Betrag.

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Ich bekomme nach denn Umformungen raus:

1	0	0	0	0	-2/3
0	1	0	0	0	2/3
0	0	1	0	-1	-2/3
0	0	0	1	-1	-1

Was mache ich jetzt damit? Die 5. Variable fehlt mir ja jetzt irgendwie und wie bestimmte ich dann die Anzahl der Elemente der Menge?

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3=0 in dem Körper, daher ist 2/3 nicht definiert. Und bitte schlag das gaußeliminationsverfahren nach; das ist in der Uni-Mathematik ein grundlegendes Verfahren.

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Okay was ich gemacht habe war natürlich nicht ganz richtig. Habe wohl zu lange kein Gaußverfahren mehr benutzt. ;)

Ich komme nun auf die Lösung:

x₁ = -2/3

x₂ = 2/3

x₃ = t - 2/3

x₄ = t - 1

x₅ = t

 

Allerdings ist 2/3 wie du richtig sagtest in dem Körper gar nicht definiert und da x₁ und x₂ noch nicht mal abhängig von t sind und somit definitiv 2/3 bzw. -2/3 betragen, müsste die Anzahl der Elemente der Menge (was ja anscheinend die Aufgabenstellung war) 0 sein oder?

 

Grüße, Kubix! =)

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Und noch eine kleine zusätzliche Frage: Muss das t eigentlich auch aus dem Körper F₃ sein?

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Die Lösungsmenge ist eine Teilmenge von \(\mathbb F_3^5 \), also muss t im Körper sein. (Wo sollte es auch sonst sein?) Und dass die "Lösung", die du gefunden hast nicht existiert, sagt nicht viel. Rechne sauber im Körper und es ergibt sich entweder, dass es keine Lösung gibt, oder die Lösungsvektoren..