Potenzen: von 1l Wasser würden die Wassermoleküle in Sandkörner (1,5mm Durchmesser) verwandelt.

Question

In 1cm³ Wasser sind etwa 10¹⁹ Moleküle enthalten. 

a) Angenommen, aus einem Flugzeug wird irgendwo über Deutschland 1l Wasser ausgeschüttet und in diesem Moment würden die Wassermoleküle in Sandkörner (1,5mm Durchmesser) verwandelt  und sich gleichmäßig über Deutschland verteilen. Schätze ab, wie hoch Deutschland (Fläche ca. 3,5 * 10⁵ km²⁾  etwa mit Sand bedeckt wäre.

b) Man denkt sich die Moleküle von 1l Wasser "gefärbt" und schüttet dieses gefärbte Wasser ins Meer. Nach einigen Jahren , wenn sich das gefärbte Wasser gut über die Weltmeere verteilt hat, nimmt man Proben von jeweils 1l. Findet man im Durchschnitt in jeder Probe mindestens ein "gefärbtes" Molekül? (Volumen der Weltmeere ca. 10⁸ km³⁾

Freue mich auf Hilfe!

Liebe Grüße

Sophie

Answer 1

In 1cm³ Wasser sind etwa 10¹⁹ Moleküle enthalten. 

a) Angenommen, aus einem Flugzeug wird irgendwo über Deutschland 1l Wasser ausgeschüttet und in diesem Moment würden die Wassermoleküle in Sandkörner (1,5mm Durchmesser) verwandelt  und sich gleichmäßig über Deutschland verteilen. Schätze ab, wie hoch Deutschland (Fläche ca. 3,5 * 10⁵ km²⁾  etwa mit Sand bedeckt wäre.

V ( Sandkorn )  = 4 /3 * r^3 * π = 4 /3 * 0.75^3 * π
V ( Sandkorn ) = 1.7671 mm^3
Anzahl Moleküle = 1000 cm^3 * 10^19 = 10^22
V ( Sand ) = 1.7671 * mm^3 * 10^22
V ( Sand ) = 1.7671 * cm^3 * 10^19
V ( Sand ) = 1.7671 * m^3 * 10^13
Verteilt auf einer Fläche von
F = 3.5 * 10^5 km^2 = 3.5 * 10^11 m^2
h = V / F = 1.7671 / 3.5 * 10^13 / 10^11
h = 0.505 * 10^2 m
h = 50.5 m

b) Man denkt sich die Moleküle von 1l Wasser "gefärbt" und schüttet dieses gefärbte Wasser ins Meer. Nach einigen Jahren , wenn sich das gefärbte Wasser gut über die Weltmeere verteilt hat, nimmt man Proben von jeweils 1l. Findet man im Durchschnitt in jeder Probe mindestens ein "gefärbtes" Molekül? (Volumen der Weltmeere ca. 10⁸ km³⁾

Anzahl Moleküle in 1 l = 1000 cm^3 * 10^19 = 10^22
1 km^3 = 10^9 m^3 = 10^12 l
Volumen Weltmeer in l = 10^8 * 10^12 = 10^20 l
Anzahl der Moleküle nach Vermischung
10^22 / 10^20 = 10^2 / liter
100 Moleküle in 1 l

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Zunächst wird das Volumen 1 Sandkorns ( Kugel ) berechnet
d = 1.5 mm
r = 0.75 mm
V ( Sandkorn )  = 4 /3 * r³ * π = 4 /3 * 0.75³ * π
V ( Sandkorn ) = 1.7671 mm³

1 Liter = 10 cm * 10 cm * 10 cm = 1000 cm^3
Anzahl der Moleküle in 1 l = 1000 cm^3 * 10^19 Moleküle pro 1 cm^3
Anzahl Moleküle = 1000 cm³ * 10¹⁹ = 10²²

V ( Sand ) = Anzahl Molküle * Volumen ( Sandkorn )
V ( Sand ) = 1.7671 * mm³ * 10²²
1 cm^3 = 10 mm * 10 mm * 10 mm = 1000 mm^2 = 10^3 mm^3
1.7671 * 10^22 * mm^3 = 1.7671 * 10^19 * cm^3
V ( Sand ) = 1.7671 * cm³ * 10¹⁹
1 m^3 = 100 * cm  * 100 * cm * 100 * cm = 10^6 cm^3
V ( Sand ) = 1.7671 * m³ * 10¹³

Die Fläche von Deutschland ist
1 km^2 = 1000 m * 1000 m  = 10^6 m^2
F = 3.5 * 10⁵ km² = 3.5 * 10¹¹ m²

Das  Volumen wird auf der Fläche verteilt
V = Grundfläche * Höhe
Höhe = V / Grundfläche
h = V / F = 1.7671 / 3.5  *  10¹³ / 10¹¹
h = 0.505 * 10² m
h = 50.5 m

Wahrscheinlich irritieren dich die vielen
Umrechnereien der Einheiten.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Eventuell muss man z.B. noch einbeziehen das Sandkörner bzw. Kugeln nicht so dicht an dicht liegen können, dass dazwischen kein Hohlraum entsteht.

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelpackung

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@mathecoach
Da hat der Mathecoach natürlich recht.
Der Gedanke war mir auch gekommen.
Stichwort Packungsdichte.
Ich glaube aber im Rahmen dieser Aufgabe
( Potenzrechnung ) war es nicht notwendig
und auch in der Aufgabenstellung nicht angeführt.
mfg Georg

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@georgborn kannst du mir ma bitte die ganze aufgabe schritt für schritt erklären also aufgabe b

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b) Man denkt sich die Moleküle von 1l Wasser "gefärbt" und schüttet dieses gefärbte Wasser ins Meer. Nach einigen Jahren , wenn sich das gefärbte Wasser gut über die Weltmeere verteilt hat, nimmt man Proben von jeweils 1l. Findet man im Durchschnitt in jeder Probe mindestens ein "gefärbtes" Molekül? (Volumen der Weltmeere ca. 10⁸ km³⁾

Wo oder was verstehst du nicht sind es die Einheiten ?

Anzahl der Moleküle in 1l Wasser berechnen
In 1 cm³ Wasser sind etwa 10¹⁹ Moleküle enthalten.
Anzahl Moleküle in 1 l = 1000 cm³ * 10¹⁹ = 10²²  Moleküle

Umrechnung von km^3 in Liter
1 km³ = 10⁹ m³ = 10¹² l 

Volumen aller Weltmeere von km^3  in Liter umrechnen
Volumen Weltmeer in l = 10⁸ * 10¹² = 10²⁰ l 

Anzahl der Moleküle nach Vermischung
10^{22} Moleküle  auf 10^20 LIter
10²² / 10²⁰ = 10² / liter 

ergibt
10^{22-20} = 10^2  = 100
100 Moleküle in 1 l