Berechnen Sie bitte √(-3 - 4i)?

Question

Ich wollte wissen was soll ich hier genau tun:

Berechnen Sie:

$$\sqrt{-3-4i}$$

Lg Niko!

Answer 1

In C meint man mit Wurzel aus a (also: √a) meist alle Lösungen z der Gleichung z^2 = a. Deshalb  folgt hier eine Rechnung mit 2 Resultaten.

Rechnung:

z^2 = -3 - 4i

z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy

Realteil und Imaginärteil in 2 Gleichungen in IR unterteilen

x^2 - y^2 = -3           (I)

2xy = -4                     (II)

x = - 2 / y                   (II') |in (I):

(-2/y)^2 - y^2 = -3           |*y^2

4 - y^4 = - 3y^2

0 = y^4 - 3y^2 - 4            |Faktorisieren

= (y^2 - 4)(y^2 + 1) 

= (y-2)(y+2)(y^2 + 1)            |in IR lösen

y1=2      --------> x1 = -2/2 = -1.      Also z₁ = -1 + 2i

y2= -2 → x2 = -2/(-2) = 1.       Also z₂ = 1 - 2i