Hier der hat einen gewaltigen Bug. So bald ich einen Link rein stelle, sagt der, ätsch bätsch 8 000 Zeichen.
Jetzt könnte doch der Support meine Antworten mit lesen und die Sache reparieren.
Machen die aber nicht.
Oder sie könnten die fachliche Qualität meiner Antworten beurteilen.
Intressiert hier keinen.
Nur wenn ich auch nur einen Satz zu viel sage, wo so eine selbst ernannte Petze entscheidet, ihr wollt das nicht hören. DANN krieg ich schon wieder Spam Vermerke. Wie viel ich bis jetzt geleistet habe, zählt dabei Null; niemand weiß mir Dank.
In dem Link erfährst du etwas über den Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Dort sage ich dir, du musst zur primitiven Form übergehen; hier ist das gleichzeitig die Normalform ===> Das Polynom ist normiert ( " monic " )
f ( x ) := x ³ - 33 x ² + 126 x + 2 160 = 0 ( 1 )
Gleichungsnummern aus dem Link zitiere ich mit einem voran gestellten " L " wie Link. Hier geht es insbesondere um Darstellung ( L2ab ) Vor mir hat sich nämlich noch niemand gefragt, was ist
ggt p ( i ) ; i = 1 ; . . . ; n ( 2a )
Antwort. Sei m ein Teiler; aus dem Satz von Vieta folgt der Zusammenhang
m | p ( i ) <====> m ^ i | b ( n - i ) ( 2b )
Ein m , das die rechte Seite von ( 2b ) befriedigt, wollen wir K-Teiler des Polynoms f ( x ) in ( L2a ) nennen - K wie Koeffizient. Der größte K-teiler ist dann selbst redend der gkt. Die Behauptung
ggt p ( i ) = gkt ( f ) ( 2c )
Und Gauß, der Entdecker des SRN , wie wir hörten, der " Teilerfürst " , sollte sich über den gkt keine Gedanken gemacht haben? Und abermals, in den letzten 200 Jahren soll das allen Mathematikern verborgen geblieben sein? Absurd bis Skurril.
Vereinzelt gibt es ja User, die schon mal vom SRN munkeln hörten. In vergleichbaren Fällen sagen die dann, in Frage kämen in ( 1 ) sämtliche Teiler des Absolutgliedes 2 160 - eine wahnsinnig schlechte Abschätzung. Denn ein Polynom kannst du durch seinen gkt kürzen genau wie einen Bruch durch seinen ggt . Und dies geschieht vermöge der Substitution
x =: u * gkt ( f ) = 3 u ( 3a )
f ( u ) = ( 3 u ) ³ - 11 * 3 ( 3 u ) ² + 14 * 3 ² ( 3 u ) + 80 * 3 ³ = ( 3b )
= 3 ³ ( u ³ - 11 u ² + 14 u + 80 ) ( 3c )
Einen Teiler von 80 zu raten scheint mir wesentlich plausibler als im Falle von 2 160 . Sämtliche möglichen Zerlegungen der 80 durchzuspielen ( unter Beachtung der Teilerfremdheit ) liegt irgendwo an der Grenze des Machbaren. Ich bin aber zuversichtlich, dass gerade die Zahlenteoretiker hier Rat wissen; es dünbkt mich schon etwas seltsam, dass gerade Zahlentheoretiker bisher Polynome immer sehr stiefmütterlich bedacht haben.
Der SRN birgt aber einen anderen Vorteil. Es reicht, wenn ich wiß, dass ( 1 ) einen RLF abspaltet; der SRN garantiert dann nämlich auch die Ganzzahligkeit der Wurzel von ( 3c ) D.h. obgleich der gkt seine Bedeutung als ggt verliert, bleibt er doch praktisch wichtig.
Eine negative Wurzel zu raten, wäre allein schon durch die CV motiviert. Du wählst u3 = ( - 2 ) Ich mache wie gesagt keinen Gebrauch davon, dass ( 3c ) vollständig zerfällt. So um 1995 herum kam mir spontan die Eingebung zu zwei pq-Formeln, die in jede Formelsammlung gehören ( Damals gab es weder einen SRN noch das Internetportal " Cosmiq " ) Weil ich das irgendwie witzig fand, nannte ich sie " erste und zweite Alfonsinische Formel ( AF ) " nach der Figur König Alfons 3/4 XII bei Michael Ende, meinem ersten Userpseudonym.
Ich vermag überhaupt nicht einzusehen, wieso wir Schüler mit dieser kontra-intuitiven Polynomdivision ( PD ) quälen sollten. Sicher freue ich mich, dass ihr alle das könnt ( Das weiß ich noch als alter Cosmiqianer; was Cosmiq diesem Forum eindeutig voraus hat, ist die prompte Rückmeldung in Form ätzender Kommentare. )
Aber Unbekannte sind seit Je bei Schülern bestens eingeführt; mit Sicherheit musstet ihr schon schwerere Gleichungssysteme knacken als die AF . Längst könnt ihr danach googeln; ich erkläre es hier nochmal für alle, wo auf Beweise geil sind.
Die AF sind selbst Kind des geschmähten Stiefkindes namens Vieta. Ich verfolge das immer wieder; kein Schüler ist in der Lage bzw. wird dazu angehalten, aus Vieta auch nur die elementarsten Schlüsse zu ziehen. Vieta ist für euch geradezu ein Fremdwort.
Was beabsichtigt PD im Prinzip? Du hast ein kubistisches Polynom f ( x ) , hast x3 geraten und suchst das ( quadratische ) Faktorpolynom g ( x )
f ( x ) = ( x - x3 ) g ( x ) ( 4a )
g ( x ) =: x ² - p x + q ( 4b )
Der Vieta von ( 4b ) lautet nun
p = x1 + x2 ( 5a )
q = x1 x2 ( 5b )
f ( x ) in ( 4a ) hat auch einen Vieta; der ist nur nicht so popolär.
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 5c )
a0 = - x1 x2 x3 ( 5d )
Und jetzt kommt das Ei des godzilla - lege mal den Rückwärtsgang ein. ( 5a ) einsetzen in ( 5c ) so wie ( 5b ) in ( 5d )
a2 = - ( p + x3 ) ( 6a ) ; AF1
a0 = - q x3 ( 6b ) ; AF2
Alles steht beisammen. a0 und a2 sind bekannt, p und q gesucht. ( 6ab ) sind nicht mal gekoppelt; und a1 kommt auch nicht vor. Versuchen wir das mal in ( 3c )
a2 = - ( p + u3 ) = ( - 11 ) ===> p = 13 ( 7a )
a0 = - q u3 = 80 ===> q = 40 ( 7b )
u ² - 13 u + 40 = 0 ( 7c )
Die 40 hat die Zerlegung 40 = 2 ³ * 5 Wegen Teiler fremd darfst du das Zweierpäckchen aber nie aufschnüren. Es verbleiben die triviale Zerlegung 40 = 1 * 40 so wie die nicht triviale 40 = 8 * 5 Dass beide Wurzeln positiv sind, wissen wir schon; hinreichende Probe ist Vieta ( 5a )
