Ableitung einer Inversen Funktion bilden

Question

Hi, 

die Aufgabe lautet: Die durch f (x) = ln3x + 1/2 definierte Funktion hat eine Inverse g. Bestimmen Sie die Ableitung der Inversen g an der Stelle y₀ = 0.

Nun stelle ich erstmal die Formel für die Ableitung einer Inversen Funktion auf: g'(0) = 1/ f'(x₀)

Jetzt fehlt mir mein x₀ was ich ja durch meine Ausgangsfunktion ermitteln kann.

Mein x₀ erhalte ich, wenn  ln3x + 1/2 = y_0, also = 0 ist. Nur irgendwie komme ich nicht auf die Lösung. Ich muss doch im Prinzip nur  f(x) = ln3x + 1/2 umschreiben, sodass  ln3x + 1/2 = 0 dort steht und dann nach x auflösen oder sehe ich das falsch? Dann weiß ich doch, was ich für x₀ einsetzen muss.

Außerdem gibt es da noch folgende Aufgabe:

Die Gleichung lnxy+y+1 = 0 definiert implizit y als Funktion von x. Bestimmen Sie für y die lineare Approximation um x = e−2 und y = 1.

Erst einmal bilde ich hier die erste Ableitung und würde mich freuen wenn jemand überprüft, ob diese korrekt ist:

ln(xy)+y+1 = 0

<=>

ln(xf(x)) + f(x) + 1 = 0

<=> ln(x) + ln(f(x)) + 1 = 0

<=> 1/x + 1/f(x) * f'(x) + 1/x = 0

<=> 2/x + 1/f(x) * f'(x) = 0           I - 2/x

<=> f'(x) / f(x) = -2/x * f(x)

<=> f'(x) = -2/x * f(x)

<=> y' = -2/x * y

Danke :)

Comments

"Die Gleichung lnxy+y+1 = 0 definiert implizit y als Funktion von x. Bestimmen Sie für y die lineare Approximation um x = e−2 und y = 1."

***Hier muss es e^-2 heißen***

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Danke für deine Antwort.

Zu 1:

ln ( 3 * x ) = - 0.5  

Bis hierhin bin ich genauso vorgegangen. Jetzt aber habe ich nach der Log. Regel die linke seite auseinander gezogen, sodass ich folgendes erhalt:

ln(3) + ln(x) = -0,5 Dann habe ich die e Funktion gebildet und erhalte

x = e^-0,5 -3 

Aber ich darf doch laut der Log. Regel den obigen Term so hinschreiben wie ich das getan habe?

 

Zu 2. äußere ich mich gleich  

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Zu zwei: Logisch, die Ableitung von f(x) ist ja auch nicht 1/x, ich Dussel.

Answer 1

sodass  ln3x + 1/2 = 0 dort steht und dann nach x auflösen
Sehe ich auch so.
ln ( 3 * x ) = - 0.5  | e ()
3 * x = e^{-0.5};
x = 0.607 / 3
x₀ = 0.202

Beim 2.Teil kann ich dir nicht so viel helfen aber

ln(xf(x)) + f(x) + 1 = 0

<=> ln(x) + ln(f(x)) + 1 = 0
hier hast du sicher f(x) vergessen
ln(x) + ln ( f(x) ) + f ( x ) + 1 = 0

<=> 1/x + 1/f(x) * f'(x) + 1/x = 0
Das dritte Glied [ f ( x )] ´ = 1 / x dürfte falsch sein
1/x + 1/f(x) * f'(x) + f ´( x ) = 0

Soviel einmal vorerst.

mfg Georg

Comments

Danke für deine Antwort.

ln ( 3 * x ) = - 0.5
Bis hierhin bin ich genauso vorgegangen. Jetzt aber habe ich nach der Log. Regel die linke seite auseinander gezogen, sodass ich folgendes erhalt:

ln(3) + ln(x) = -0,5 Dann habe ich die e Funktion gebildet und erhalte

x = e-0,5 -3

Aber ich darf doch laut der Log. Regel den obigen Term so hinschreiben wie ich das getan habe?


Zu 2.

Logisch, die Ableitung von f(x) ist ja auch nicht 1/x, ich Dussel.

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Ich erhalte nicht x = e-0,5 -3 sondern x = e^-0,5 -3

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" ln(3) + ln(x) = -0,5 . Dann habe ich die e Funktion gebildet und erhalte "
x = e^{-0,5} -3
Nein.  Du hast auf der linken Seite
e^{ln3} + e^{lnx} gebildet. Richtig wäre es die linke
Seite komplett als e^ zu schreiben
e^{ ln3 + lnx}
e^{ln3} * e^{lnx}
3 * e^{lnx}
3 * x
Dasselbe erreichst du direkt durch
ln ( 3 * x ) = - 0.5  | e^ ( )
e^{ln[3*x]} = e^{-0.5}
3 * x = e^{-0.5}

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg