Parabel als Approximation der Kettenlinie f(x)=1/2(e^x + e^{-x})

Question

Hallo Community
Folgende ist eine Beispiel Aufgabe in meinem Buch , da ich solcher Art aufgaben noch nicht gelöst habe weiss ich auch nicht so richtig wie ich jetzt vorgehen soll, meine Lehrerin meinte wir sollten sie mal versuchen zu verstehen..

Kann mir jemand Tipps bzw. Hilfe geben

Betrachtet wird die Kettenlinie f(x)=1/2(e^x + e^-x) über dem Intervall [-1;1]

Gesucht ist eine quadratische Näherungsparabel g , die an den Stellen x=0 und x=+/-1 mit der Kettenlinie übereinstimmt.

Zeigen sie,dass die näherungsparabel im den Aufhängepunkten bei x=1 und x=-1 flacher verläuft als die Kettenlinie.

Comments

Die Kettenlinie wird durch 'cosinus hyperbolicus' beschreiben. Das hat nichts mit der Kettenregel zu tun. Es ist ein Bild für den  Bogen einer hängenden Perlenkette.

Schau vielleicht schon mal die Eigenschaften der Funktion genau an: https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus

Answer 1

Hi,

bestimme die Punkte an den Stellen -1, 0 und 1.


f(-1) = (1+e^2)/2e ≈ 1,54

f(0) = 1

f(1) = (1+e^2)/2e ≈ 1,54


Nun bestimme eine Parabel, die da durch geht. Du siehst dabei schon sofort, dass dies eine Parabel ist, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Wir brauchen als nur g(x) = ax^2+c zu bestimmen. c = 1 ist ebenfalls sofort ersichtlich. Bestimme a:

(1+e^2)/2e = a*1^2+1

a = (e-1)^2/2e


Die Parabel lautet also:

g(x) = ((e-1)^2/2e)*x^2+1

oder genähert: 0,54x^2+1


Da bestimme nun die Ableitung an der Stelle 1, um zu beurteilen ob das flacher ist, also die ursprüngliche Kurve.

f'(x) = 1/2*(e^x-e^{-x}) -> f'(1) = 1,18

g'(x) = 1,08x  -> g'(1) = 1,08


g'(1) < f'(1) -> g(x) an der Stelle x = 1 flacher.


Grüße

Answer 2

f(x) = ax^2 + b

f(0) = cosh(0) = 1 --> b = 1

f(1) = cosh(1) = e/2 + e^{-1}/2 = 1.543080634 --> a = 0.543080634

f(x) = 0.543080634x^2 + 1

Hier die Skizze

COSH(x) ist hier blau und die Näherungsparabel rot.

Du sollst jetzt noch zeigen das die Näherungsparabel in den Aufhängepunkten flacher verläuft. Dazu vergleichst du an der Stelle 1 die beiden Ableitungen miteinander.