Länge eines Kurvenstücks und Kettenlinie. e-Funktion auf Intervall [0;a]

Question

Hey liebe Leute,  

Ich bräuchte Hilfe bei der Berechnung eines kurvenstücks.

Ich weiß nicht wie ich bei Aufgabe 2 vorgeben muss.

Wäre cool wenn ihr mir weiter helfen könntet  

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Kettenlinie. e-Funktion auf Intervall [0;a]

Stichworte: e-funktion,analysis,cosh,länge,kettenlinie

,

ich bin mir noch nicht sicher wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss.

Wäre cool wenn ihr mir weiter helfen könntet

vielen dank

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EDIT: Sorry. Kein Duplikat der verlinkte Frage! Du hattest dort die Kettenlinienaufgabe auch noch im Bild. Habe die nun dort entfernt. 

Frage zur  Kettenlinie gab es in den letzten Tagen aber auch schon. Befolge bitte 

https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

Bsp. 

https://www.mathelounge.de/498681/kettenlinie-h-x-k-cosh-x-k-tiefster-punkt und andere "ähnliche Fragen". 

Answer 1

Unter Punkt 4 steht die Formel:

Comments

Vielen Dank für die Hilfe

Gott segne dich mein bester

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gerne

:-)

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Hey mein bester

Ich hätte da nochmal eine Frage wie kommt man am Ende auf die 10 und die 1 (Intervall)

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Hallo

indem man die Grenzen in

z=(9x)/4 +1 einsetzt

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Um ehrlich zu sein verstehe ich die letzten beide Schritte nicht ganz.

Wenn es dir keine Umstände bereiten würde könntest du die nochmal näher erläutern?

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ab wo genau?

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Ab dem ersten =>

Also nachdem du die Anleitung gebildet hast.

Du setzt die Ableitung in die Funktion. Danach fällt es mir schwer zu folgen und warum verschwindet der Intervall [4;0]

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etwas ausführlicher.

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und warum verschwindet der Intervall [4;0]

Es gibt generell 2 Möglichkeiten mit den Grenzen.

a) Integral berechnen , dann die Grenzen einsetzen.

b) Grenzen mittels Substitution  , hier z= (9/4) x+1 zu verändern.

Dann brauchst Du das Integral nicht mehr resubstituieren.

Ich habe Variante b gewählt.

0 eingesetzt:

z₁= 9/4 *0 +1= 1

z₂= (9/4) *4 +1 =10

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Frage ruhig weiter, wenn noch etwas offen ist.

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Du bist der beste Mensch den ich je getroffen habe, Danke .

Ich schau mir das nochmal an.

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Danke

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Könntest du das vielleicht mal mit Variante a machen. Ich denke das wäre verständlicher für mich.

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mache ich , warte

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Super cool von dir.

Hab das fast alles verstanden mir ist nur noch nicht genau klar wie man auf die 4/9 kommt und warum man die 4/9 vor dieses mathematische S schreiben kann und warum bei diesem S kein Intervall angegen ist sonst ist mir alles klar. Danke nochmal bist mir eine große Hilfe

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Hey ich bins nochmal

Ich stecke gerade mitten in Aufgabe 3

Ich glaub ich muss hier die Funktion fc in die Formel einsetzten aber ich komm nicht weit könnte mir jemand weiter helfen.

Vielen Dank

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Hey ich hätte da doch noch eine Frage

Wärst du bereit mir die zu beantworten ?

Answer 2

Hi,

du musst

$$s=\int_0^a \sqrt{1+f'_c(x)}$$

berechnen und zeigen, dass das Ergebnis$$ s=\frac{1}{2 \cdot c} \cdot (e^{ac}-e^{-ac}) $$ ist. Fange mit der Ableitung an. Wie lautet diese? (Betrachte zuerst den speziellen Fall, dass c=1)

Comments

fist das soweit richtig ? und wie geht es dann weiter

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Fast richtig, das Quadrat gilt ja nur für die Funktion f_c(x) und nicht noch für die 1 davor, d.h. die Wurzel und das Quadrat heben sich nicht raus.

Es gilt:

$$\int_0^a\sqrt{1+( \frac{1}{2} \cdot (e^x-e^{-x}))^2} \\ = \int_0^a\sqrt{ \frac{4+ (e^x-e^{-x})^2}{4}} \\ =\frac{1}{2} \int_0^a\sqrt{ 4+ (e^x-e^{-x})^2} $$

Wie könntest du nun weitermachen?

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Achso ok danke

ich versteh aber nicht ganz wie du auf die 4 kommst,also die 4 vor der klammer und woher die 1/2 stammt, die vor dem S stehen.
wie man nun weiter machen könnte
vielleicht die Stammfunktion bilden und das integral berechnenist das korrekt so ?

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Habe den Term in der Wurzel  wie folgt umgeformt:

$$1+(\frac{1}{2} \cdot (e^x-e^{-x}))^2=1+ \frac{(e^x-e^{-x})^2}{2^2} = 1+ \frac{(e^x-e^{-x})^2}{4} = \frac{4+(e^x-e^{-x})^2}{4} $$Nun gilt:$$\int_0^a\sqrt{ \frac{4+(e^x-e^{-x})^2}{4} } dx \\ = \int_0^a \frac{ \sqrt{4+(e^x-e^{-x})^2}}{\sqrt{4}} \\ = \int_0^a \frac{ \sqrt{4+(e^x-e^{-x})^2}}{2} \\ = \frac{1}{2}\int_0^a  \sqrt{4+(e^x-e^{-x})^2} $$Ja, nun musst du das Integral berechnen. Dazu fasst du den Term unter der Wurzel so viel zusammen wie möglich und schreibst es dann mit Hilfe der ersten binomischen Formel um.Denke daran, dass $$(e^x-e^{-x})^2=(e^x-e^{-x}) \cdot (e^x-e^{-x})$$Wie geht es nun weiter?

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ist das richtig so oder hab ich ein fehler gemacht?
danke im voraus, bist mir eine große Hilfe

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Bitteschön :)

Du kannst die 4 zwar rausziehen, dann sieht der Term aber anders aus.

Er würde $$\frac{1}{2} \int_0^a 2 \cdot \sqrt{1+(e^x)^2-2 \cdot e^x \cdot e^{-x}+(e^{-x})^2} dx$$ lauten.

Allerdings müssen wir das hier nicht tun.

Wenn du die 4 nicht "rausgezogen" hättest, würde da nun

$$\frac{1}{2} \int_0^a  \sqrt{4+(e^x)^2-2 \cdot e^x \cdot e^{-x}+(e^{-x})^2} dx$$

stehen. Es gilt: $$2 \cdot e^x \cdot e^{-x} = 2 \cdot e^{x-x} = 2 \cdot e^0 = 2 \cdot 1 = 2$$

Wir erhalten also

$$\frac{1}{2} \int_0^a  \sqrt{4+(e^x)^2-2 \cdot e^x \cdot e^{-x}+(e^{-x})^2} dx \\ =\frac{1}{2} \int_0^a  \sqrt{4+(e^x)^2-2 +(e^{-x})^2} dx \\ = \frac{1}{2} \int_0^a  \sqrt{(e^x)^2+2 +(e^{-x})^2} dx$$

Nun schreibe den Term unter der Wurze mit Hilfe der ersten binomischen Formel um. Was erhältst du? Bedenke, dass

$$2 = 2 \cdot e^x \cdot e^{-x}$$

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um ehrlich zu sein weiß ich nicht genau was man noch unter der Wurzel umformen kann

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Es gilt:

$$ \frac{1}{2} \cdot \int_0^a \sqrt{(e^x)^2+2+e^{-x})^2}  \\ = \frac{1}{2} \cdot \int_0^a \sqrt{(e^x)^2+2 \cdot e^x \cdot e^{-x}+e^{-x})^2} \\ = \frac{1}{2} \cdot \int_0^a \sqrt{ (e^x+e^{-x})^2} $$

Wie geht es nun weiter? Nun kann man ja was schönes machen.

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jetzt müsste man doch die wurzel auflösen und die Stammfunktion bilden

aber noch eine frage

was passiert im zweiten schritt mit dem 2*e^x*e^{-x , sodass das am ende nicht mehr weg fällt?} 

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Mir fällt gerade noch auf, dass ich vergessen habe eine Klammer aufzumachen vor e^-x,nur damit du es weißt.

Verstehe deine Frage nicht ganz. Es gilt:

$$(e^x)^2+2 \cdot e^x \cdot e^{-x}+(e^{-x})^2= (e^x+e^{-x})^2$$

Dies ist die erste binomische Formel angewendet auf a=e^x und b=e^-x.

1. binomische Formel: $$ (a+b)^2=a^2+ab+b^2$$

Die Wurzel und das Quadrat heben sich gegenseitig raus, also hast du nur noch e^x+e^-x zu integrieren.

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ist das so korrekt meister ?

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Ja, Lehrling :)

Sehr gut!

Die Lösung mit einem allgemeinen c geht genauso. Musst halt nur z.B. beim Integrieren darauf achten, dass e^cx integriert 1/c · e^cx ist.

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Ok danke ich verstehe

Verlangt die Aufgabe von mir das ich das für C zahlen einsetzte oder für allgemein C.

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Für ein allgemeines c, keine Zahlen einsetzen.

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Ich hätte da nochmal eine Frage undzwar muss ich die Formel für s herleiten

Könntest du mir dabei behilflich sein?

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Bitte.

Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung? So wie ich das sehe haben wir doch gerade s aus der allgemeinen Formel hergeleitet.

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ich soll die Formel für S herleiten, also muss ich erklären wie diese zustande kommt .

warum ist die Formel so wie sie ist.

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Die untere Formel ist die allgemeine Formel (die, die unter dem Tipp steht). Die obere Variante haben wir hergeleitet. Und wie man auf die untere kommt weiß ich leider auch nicht. Auf folgender Seite steht unter "Zur Herleitung der Formel", dass diese über eine Kräftebetrachtung hergeleitet wird: http://www.mathematische-basteleien.de/kettenlinie.html

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alles klar vielen dank

ich hätte noch eine letzte frage hat aber weniger mit der Aufgabe zuvor  zu tun.

weißt du vielleicht wie man bei der Rechnung auf die  4/9 kommt. Das ist schon beschrieben aber ich versteh es nicht ganz

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warum fragst Du nicht mich  , die Rechnung ist von mir ! ?

dz/dx= 9/4

4 dz= 9dx

dx= 4/9 dz

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Bitteschön

Zu deiner anderen Frage:
$$f(x)=x^{\frac{3}{2}}$$Somit gilt für die Ableitung$$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}= \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}$$Damit folgt$$(f'(x))^2= (  \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} )^2 = (\frac{3}{2})^2\cdot \sqrt{x}^2 = \frac{3^2}{2^2} \cdot x =\frac{9}{4} x $$

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hey danke nochmal

könntest du mir nochmal dabei helfen, die Aufgabe am Anfang für ein allgemeines C zu machen ?
wäre cool von dir

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Bitte

Kann ich machen. Zeig mal deinen Anfang.

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Ok mach ich ein Moment

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ich hab jetzt erstmal die ableitung

könnte man diese nicht noch leichter umformen ?

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Ja, du kannst mit c kürzen.

Das geht wirklich alles genauso wie mit c=1. Du musst nur beim Integrieren drauf achten, dass z.b. die Stammfunktion von e^cx  so ausschaut:

$$\frac{1}{c} \cdot e^{cx}$$

Versuch's einfach mal :)

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ok ich versuche es mal danke

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Meister ich denke ich hab's

stimmt das so?

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Musst ja folgendes integrieren:
$$\int_0^a \sqrt{1+(f'(x))^2}  \ dx = \int_0^a \sqrt{1+(\frac{1}{2} \cdot (e^{cx}-e^{-cx}))^2}  \ dx$$

Wobei deins eigentlich das Ende der Rechnung sein könnte (außer dass ganz oben ein + statt ein - stehen muss) oder? Wenn es das Ende ist sieht es bis auf das Minus ganz oben und die Art wie du es aufgeschrieben hast (1/2 · 1/c = .... ist ja nicht wahr) gut aus. In der letzten Zeile hast du auch noch mal ein Minus im Exponenten vergessen.

Überarbeite das noch mal und beginne von ganz vorne. Das da ist ja nicht alles was da stehen muss als Lösung.

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ja das sollte das Ende der Rechnung sein. Hab das ein wenig falsch aufgeschrieben.

Was genau ist bei 1/2*1/c= 1/2c falsch ?

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aaaaa ok verstehe was du meinst.

Habs verbessert danke

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Hey ich hätte nochmal eine letzte Frage  zu einer Mathe Aufgabe.

Kannst du mir vielleicht weiter helfen ?

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Kann ich machen. Stell aber am besten eine neue Frage, wenn es nicht um diese Aufgabe gehen sollte.

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Eigentlich geht es um die Rechnung die grosserloewe aufgestellt hat.

Das Bild hab ich oben gesendet dass mit der Berechnung des kurvenstücks.

Ich versteh nicht warum man da jz mit 4/9 dz weiter rechnet?

Cool das du mir hilfst danke 

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das habe ich Dir schon vor 5 Tagen erklärt.

dz/dx= 9/4

4 dz= 9dx

dx= 4/9 dz

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Bitte.

Es wurde ja substituiert. Wenn du die Integrationsvariable substituierst, integrierst du nachdem du die Substitution durch geführt hast ja nicht mehr nach der gleichen Variablen, diese gibt es ja schließlich nicht mehr.

Schau mal hier bei "Aussage der Substitutionsregel":

https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Aussage_der_Substitutionsregel

Dort wird wie folgt substituiert:

$$x=\phi(t)$$

Nun leiten wir x nach t ab:

$$\frac{dx}{dt}=\phi'(t)$$

Diese Gleichung ist äquivalent zur folgenden:

$$\phi'(t) \cdot dt = dx$$

D.h. dein φ'(t) · dt wirst du bei deiner Substitution durch dx ersetzen.

Speziell in deinem Fall würde das bedeuten, dass du 9/4 · dx durch dz ersetzen würdest. Allerdings gibt es ja keine 9/4 vor deinem dx in deinem Integral. Somit ersetzt du dx stattdessen durch 4/9 · dz, was ja äquivalent dazu ist.

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Eigentlich geht es um die Rechnung die grosserloewe aufgestellt hat.

@NABER1 

Warum fragt Du dann nicht mich?

Ich kann MEINE Rechnung selbst erklären und nicht irgend jemand anders.

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Ich weiß, genau die Stelle habe ich ja erklärt. Erst ganz allgemein die Vorgehensweise und dann speziell auf die Aufgabe bezogen.