Stetigkeit beweisten Funktion mit 2 Variablen

Question

Für \( c \geq-1 \) sei \( f_{c}: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R} \) die Funktion

\( f_{c}(x)=\left\{\begin{array}{rlr} e^{x}-1 & , & x<1 \\ \sqrt{x+c} & , & x>1 \end{array}\right. \)

Wie zeige ich hier die Stetigkeit? Oder wie lässt sie sich zumindest begründen? Kann man diese Funktion in WolframAlpha plotten lassen, wenn ja wie?

Comments

f(x_o) = lim _x->x0⁺f(x) = lim _x->x0^-f(x)

---

@Bepprich
Ich bin zwar nicht der Fragesteller habe mich aber mich
der Aufgabe beschäftigt.
Mir ist dein Kommentar völlig unklar.
Könntest du ihn mir erklären ?
mfg Georg

---

es gibt einen rechtsseitigen ("+") und einen linksseitigen Grenzwert (" - ") an einer Stelle x0

Und wenn mich nicht alles täuscht, ist was stetig, wenn diese beiden Grenzwerte gleich dem Funktionswert an der Stelle x0 sind?

---

Ich teile dir einmal meine Überlegungen mit

e^x -1 für x < 1
√ ( x + c ) für x > 1
x + c >= 0
c >= -x
c >= -1

Gesucht wird das c mit dem die
Funktion vielleicht stetig sein könnte

Sollte die Funktion in x = 1 stetig sein gilt
e^x - 1 = √ ( x + c )
e - 1 =  √ ( 1 + c )   | ( )^2
( e - 1 )^2 = 1 + c
e^{2}  - 2 * e + 1 = 1 + c
e^{2}  - 2 * e = c
c = 1.9525

Probe
e^{1} -1 = 2.7183 - 1 = 1.7183
√ ( 1 + 1.9525 ) = 1.7183

Für c = 1.9525 wäre die Funktion stetig.

Auf absolute Feinheiten mit lim usw habe ich verzichtet.
Bliebe noch zu klären : da die Funktion in D = ℝ \ { -1 }
definiert handelt es sich bei der Lösung auch um eine
Erweiterung des Def-Bereichs.

mfg Georg

Answer 1

Es handelt sich um eine " erweiterbare Funktion ".
( Ich müßte nocheinmal im Internet genau nachschauen und den
Link hiereinstellen )

c ≥ -1

Es gilt für
c ≠ e²  - 2 * e die in der Fragestellung angegebene
Funktion f _c ( x ) = ...
für D = ℝ \ { -1 }

Da -1 aus dem Def-Bereich ausgeschlossen wurde
ist die Funktion in ganz ℝ nicht stetig.

Erweiterbar für
c = e²  - 2 * e die Funktion 
{ e^x -1         für x <= 1
{ √ ( x + c )  für x > 1

oder
{ e^x -1         für x < 1
{ √ ( x + c )  für x >= 1

... für D = ℝ

Die Funktion ist in ganz ℝ stetig, da
linksseitiger Grenzwert = Funktionswert = rechtsseitiger Grenzwert.

Herleitung siehe meinen Kommentar " Ich teile dir einmal ... "

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg