Funktioniert seine Bauchspeicheldrüse normal?

Question

Um die Funktion der Bauchspeicheldrüse zu testen, wird ein bestimmter Farbstoff in sie eingespritzt und dessen Ausscheidungen gemessen. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse scheidet pro Minute etwa 4% des jeweils noch vorhandenen Farbstoffs aus. Bei einer Untersuchung wird einem Patienten 0,2 Gramm des Farbstoffs injiziert. Nach 30 Minuten sind noch 0,09 Gramm des Farbstoffs in seiner Bauchspeicheldrüse vorhanden. Funktioniert seine Bauchspeicheldrüse normal?

Answer 1

Wenn jede Minute 4% ausgeschieden werden, dann wird die Menge des Farbstoffs in jeder Minute mit 0.96 malgenommen.

Man erhält also bei einer Anfangsmenge M₀ für die Menge M(t) mit t in Minuten:

M(t) = M₀*0.96^t = M₀*e^{ln(0.96) t}

Zu erwarten sind nach 30 Minuten bei einer Anfangsmenge M₀ = 0.2g also:

M(30) = 0.2g * 0.96³⁰ = 0.059g

Seine Bauchspeicheldrüse ist also etwas zu langsam.

 

Um den Prozentsatz des tatsächlichen Abbaus auszurechnen, kann man folgendermaßen vorgehen:

0.09g = 0.2g * p³⁰

p³⁰ = 0.45

p = ³⁰√(0.45)

p ≈ 0.97

Sein Bauchspeicheldrüse scheidet also nur ca. 3% aus.

Answer 2

f(x) = 0.2 * 0.96^x

f(30) = 0.2 * 0.96^30 = 0.05877152864 

Die Bauchspeicheldrüse Funktioniert wohl nicht normal.