Eine Zahlenfolge, bei der jedes Folgeglied um eine konstante Zahl d größer ist als ihr Vorgänger, heißt arithmetische Folge.
So ist z.B. die Folge
1 , 4 , 7 , 10 , ...
eine arithmetische Folge, denn jedes ihrer Glieder ist um d = 3 größer als ihr Vorgänger.
Das zweite Folgeglied ( 4 ) ist gleich dem ersten Folgeglied ( 1 ) + 3.
Das dritte Folgeglied ( 7 ) ist gleich dem zweiten Folgeglied ( 4 ) + 3.
Das vierte Folgeglied ( 10 ) ist also gleich dem dritten Folgeglied ( 7 ) + 3.
Allgemein ausgedrückt:
Das ( n+1)-te Folgeglied ist gleich dem n-ten Folgeglied + d
oder kurz :
an+1 = an + d
Formt man diese Gleichung äquivalent um, indem man auf beiden Seiten den Wert an subtrahiert, so erhält man die Gleichung:
an+1 - an = d
Und das ist die erste Formel aus deinem Hefter!
Diese Formel besagt also einfach, dass die Differenz eines jeden Folgegliedes und ihres Vorgängers den konstanten Wert d hat.
Wenn man also zwei aufeinanderfolgende Folgeglieder gegeben hat (z.B. a3 = 13 und a4 = 18) und nun die dementsprechende arithmetische Folge hinschreiben soll, so bestimmt man mit dieser Formel zunächst die Differenz d = a4 - a3 = 18 - 13 = 5 und kann dann die gesamte Folge hinschreiben. Dabei erhält man den Vorgänger eines Folgegliedes, indem man den konstanten Wert d = 5 von diesem Folgeglied subtrahiert und den Nachfolger, indem man diesen Wert zu dem Folgegleid addiert, also für das Beispiel
a3 = 13 und a4 = 18:
Die Vorgänger sind:
a2 = a3 - 5 = 13 - 5 = 8
a1 = a2 - 5 = 8 - 5 = 3
Die Nachfolger sind:
a5 = a4 + 5 = 18 + 5 = 23
a6 = a5 + 5 = 23 + 5 = 28
usw.
Die Folge lautet also: 3, 8, 13, 18, 23, 28, ....
Da nun bei einer arithmetischen Folge die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder konstant d ist, kann man zu jedem gegebenen Folgeglied an nicht nur das nächste Folgeglied an+1 bestimmen, indem man d addiert, sondern auch direkt das übernächste Folgeglied an+2 , indem man 2 * d addiert.
Kennt man also z.B. den Startwert a1 einer arithmetischen Folge sowie die Folgenkonstante d , so ergeben sich die nächsten Folgeglieder so:
a2 = a1 + 1 * d
a3 = a1 + 2 * d
a4 = a1 + 3 * d
Allgemein kann man daraus für das n-te Folgeglied herleiten:
an = a1 + ( n - 1 ) * d
Und das ist die zweite Formel aus deinem Hefter!
Mit dieser Formel kann man also aus einem gegebenen Folgenstartwert a1 und der Folgenkonstanten d direkt das n-te Folgeglied an berechnen, ohne nacheinander die dazwischen liegenden Folgeglieder bestimmen zu müssen.
Für das bereits weiter oben verwendete Beispiel a1 = 3 und d = 5 kann man also mit dieser Formel direkt
das Folgeglied an berechnen, also z.B. das Folgeglied a6 :
a6 = a1 + ( 6 - 1 ) * d = 3 + 5 * 5 = 28
(Vergleiche mit oben)
Zusammenfassung:
Mit der Formel 1:
an+1 - an = d
bestimmt man aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern einer arithmetischen Folge die Folgenkonstante d
Mit der Formel 2:
an = a1 + ( n - 1 ) * d
berechnet man aus einem gegebenen Folgenstartwert a1 und einer gegebenen Folgenkonstante d auf direktem Weg das n-te Folgenglied an
Zu der Tabelle:
In der Zeile a) findest du
a1 = 1 und a2 = 5
Mit der Formel 1 kannst du daraus die Folgenkonstante d bestimmen:
d = a2 - a1 = 5 - 1 = 4
Diese soll in die vorletzte Spalte der Tabelle eingetragen werden.
Daraus ergibt sich mit der Formel 2 für das Folgeglied a3 :
a3 = a1 + ( 3 - 1 ) * 4 = 1 + 2 * 4 = 9
(so wie es in der Tabelle bereits eingetragen ist)
Das Folgeglied a10 ist dementsprechend:
a10 = a1 + ( 10 - 1 ) * 4 = 1 + 9 * 4 = 37
Die weiteren gesuchten Folgeglieder sind:
a17 = a1 + ( 17 - 1 ) * 4 = 1 + 16 * 4 = 65
a25 = a1 + ( 25 - 1 ) * 4 = 1 + 24 * 4 = 97
In die letzte Spalte der Tabelle soll nun die allgemeine Formel für die Berechnung des n-ten Gliedes dieser arithmetischen Folge eingetragen werden.
Nun, das sollte dir jetzt leicht fallen:
an = a1 + ( n - 1 ) * 4
