Nun, da die Rede von einem Scheitelpunkt ist, soll es sich wohl um einen quadratischen Funktionsterm handeln.
Die Frage ist dann noch, ob
f ( x ) = - 2 x ² - 12 x +10
oder
f ( x ) = 2 x ² - 12 x + 10
Da die zweite Variante als einzige eine ganzzahlige Nullstelle hat ( x = 1 ), gehe ich einfach mal davon aus, dass diese Variante gemeint ist.
Dann:
a) berechnen Sie in welchen Punkten der Graph der Funktion das Viereck schneidet
Der Graph von f ( x ) schneidet das Viereck ABCD, wenn er
a1) die Strecke AD schneidet, wenn also f ( x ) für x = 0 einen Wert zwischen y = 0 und y = 4 annimmt.
a2) die Strecke BC schneidet, wenn also f ( x ) für x = 3 einen Wert zwischen y = 0 und y = 4 annimmt.
a3) die Strecke AB schneidet, wenn also f ( x ) im x-Achsen-Intervall [ 0 , 3 ] den Wert 0 annimmt, dort also eine oder mehrere Nullstellen hat
a4) die Strecke DC schneidet, wenn also f ( x ) im x-Achsen-Intervall [ 0 , 3 ] den Wert 4 annimmt
Zu a1)
f ( 0 ) = 10
=> kein Schnittpunkt
Zu a2)
f ( 3 ) = - 8
=> kein Schnittpunkt
Zu a3)
f ( x ) = 0
<=> 2 x 2 - 12 x + 10 = 0
<=> x 2 - 6 x = - 5
<=> x 2 - 6 x + 9 = 4
<=> ( x - 3 ) 2 = 4
<=> x - 3 = - 2 oder x - 3 = 2
<=> x = 1 oder x = 5
Die Stelle x = 1 liegt im Intervall [ 0 , 3 ] , also ist S1 ( 1 | 0 ) einer der gesuchten Schnittpunkte.
Die Stelle x = 5 hingegen liegt nicht im Intervall [0 , 3 ]
Zu a4)
f ( x ) = 4
<=> 2 x 2 - 12 x + 10 = 4
<=> x 2 - 6 x + 5 = 2
<=> x 2 - 6 x = - 3
<=> x 2 - 6 x + 9 = 6
<=>
<=> ( x - 3 ) 2 = 6
<=> x - 3 = - √ 6 oder x - 3 = √ 6
<=> x = 3 -√ 6 oder x = 3 + √ 6
Die Stelle x = 3 -√ 6 ≈ 0,5505 liegt im Intervall [ 0 , 3 ] , also ist S2 ( 3 -√ 6 | 4 ) einer der gesuchten Schnittpunkte.
Die Stelle x = 3 -√ 6 hingegen liegt nicht im Intervall [0 , 3 ]
b) weisen Sie nach, dass der Scheitelpunkt der Parabel außerhalb des Viereck liegt
Berechnung des Scheitelpunktes der Parabel durch Umformung des Funktionsterms in die Scheitelpunktform:
2 x 2 - 12 x + 10
= 2 ( x 2 - 6 x ) + 10
= 2 ( x 2 - 6 x + 9 - 9 ) + 10
= 2 ( ( x - 3 ) 2 - 9 ) + 10
= 2 ( x - 3 ) 2 - 18 + 10
= 2 ( x - 3 ) 2 + ( - 8 )
Daraus liest man den Scheitelpunkt PS ab:
PS = ( 3 | - 8 )
Da die y-Koordinate außerhab des y-Achsenintervalls [ 0 , 4 ] liegt, kann PS nicht innerhalb des Vierecks ABCD liegen.
Die Gerade g verläuft parallel zur Geraden BD wie lautet die Gleichung der Geraden g, falls die Fläche des Vierecks im Verhältnis 1:2 unterteilt ist ?
Die Fläche F des Vierecks beträgt
3 * 4 = 12 FE2
Sie soll in zwei Teilflächen A und B zerteilt werden, für die gilt
A / B = 1 / 2
Da A + B = 12 gilt, folgt: B = 12 - A und somit
A / ( 12 - A ) = 1 / 2
<=> 2 A = 12 - A
<=> 3 A = 12
<=> A = 4
Die Teilfläche A muss also 4 FE 2 und die Teilfläche B muss 8 FE betragen.
Die Gerade BD hat die Steigung:
m = ( yB - yD ) / ( XB - XD )= ( 0 - 4 ) / ( 3 - 0 ) = - 4 / 3
also muss auch die gesuchte Gerade diese Steigung haben. sie muss also die Form
g ( x ) = ( - 4 / 3 ) x + b
haben.
Die Gerade durch B und D halbiert das Viereck ABCD. Die gesuchte Gerade kann nun oberhalb oder unterhalb der Geraden BD liegen.
Im ersten Fall trennt sie ein Dreieck ab, welches die obere rechte Ecke des Vierecks enthält,
im zweiten Fall ein Dreieck, welches die untere linke Ecke des Vierecks, also den Ursprung des Koordiantensystems, enthält.
Da er einfacher zu berechnen ist, wird zur Lösung der Aufgabe der zweite Fall herangezogen.
Das abzuteilende Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten x0 bzw. y0, wobei x0 und y0 jeweils die x- bzw. y-Achsenabschnitte der gesuchten Geraden g sind.
Das so abgeteilte Dreieck hat den Flächeninhalt:
F = x0 * y0 / 2
und es muss gelten:
F = A = 4
also:
x0 * y0 / 2 = 4
<=> x0 = 8 / y 0
Außerdem müssen x0 und y0 die Geradengleichung g ( x ) der gesuchten Geraden erfüllen, es muss also gelten:
g ( x0 ) = ( - 4 / 3 ) x0 + y0 = 0
Setzt man hier den violett gesetzten Term ein, so erhält man:
( - 4 / 3 ) * 8 / y 0 + y0 = 0
<=> y0 = ( 4 / 3 ) * 8 / y 0
<=> y02 = 32 / 3
<=> y0 = √ ( 32 / 3 ) ≈ 3,266
und somit lautet die gesuchte Geradengleichung:
g ( x ) = - ( 4 / 3 ) x + √ ( 32 / 3 )
