Grenzwert: ln(sin(x)/x) / (cos(x) - 1)

Question

ich sitze schon seit mehrern Stunden an dieser Aufgabe:

lim x-> 0

ln(sinx/x)
cosx -1

Ich denke das dieser Grenzwert vom Typ 1/0 ist,
da sinx-> 0 und x-> 0 geht damit ist das Argument des ln 0 und ln(0)=1.

Der Nenner geht gegen 0, da cosx -> 1 konvergiert. 

Soweit bin ich mit meinen Überlegungen aber weiter komm ich auch nicht.
Ich hab versucht diese Funktion in dieser Form mehrmals abzuleiten, aber ich komme nie auf das Ergebnis der Klausursammlung 1/3. 

Ich hab auch schon gelesen das man in den Grenzwerten dieser Form keine 0 im Nenner stehen haben darf,
aber damit kann ich auch nicht viel anfangen.

 

Comments

Es gilt sicher nicht ln(0)=1.

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ja das ist mir auch aufgefallen vor ein paar Minuten :) :)
Und doch komme ich damit auch nicht viel weiter

Answer 1

lim (x-->0) LN(SIN(x) / x) / (COS(x) - 1) 

L'Hospital

= (COS(x)/SIN(x) - 1/x) / (- SIN(x))

= (SIN(x) - x·COS(x))/(x·SIN(x)^2)

L'Hospital

= (x·SIN(x))/(2·x·SIN(x)·COS(x) + SIN(x)^2)

= x/(2·x·COS(x) + SIN(x))

L'Hospital

= 1/(3·COS(x) - 2·x·SIN(x))

= 1/3

Comments

@mathecoach

lim (x-->0) LN(SIN(x) / x) / (COS(x) - 1) 

Frage : woher weißt du das du L'Hospital anwenden kannst ?
Meine erste Schwierigkeit wäre die Bestimmung von
lim (x-->0)  SIN(x) / x

mfg Georg

 

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lim(x-->0) sin(x)/x findet man relativ oft -> man kann es also wissen.
Befasst man sich damit zum ersten Mal kann man das auch nochmals mit l'Hospital anschauen. Führt direkt auf 1 ;).

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lim (x --> 0) SIN(x) / x

L'Hospital

lim (x --> 0) COS(x) / 1 = 1

Eigentlich sollte man das direkt sehen können. Man kann es aber auch einzeln zeigen.

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lim (x-->0) LN(SIN(x) / x) / (COS(x) - 1) 

Zitat  " Frage : woher weißt du das du L'Hospital anwenden
kannst ? Meine erste Schwierigkeit wäre die Bestimmung von
lim (x-->0)  SIN(x) / x "

Ich habe mich hier nicht richtig ausgedrückt . Ich habe keine
Schwierigkeiten auf  sin(x)/x l´Hospital anzuwenden. Das Wort
Schwierigkeiten passt nicht.

Ich bin von innen nach außen vorgegangen und komme dann
insgesamt auf 0 / 0. Leider komme ich nicht auf 1/3.
Ich werde mich nochmals melden. Dieser Kommentar bedarf
nicht unbedingt einer Antwort.

mfg Georg

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Bei Grenzwerten der Form 0 / 0 oder ∞ / ∞ darf ich ja L'Hospital anwenden.

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Dein Rechenweg und deine Überlegungen sind ok,
bloß bei meinem Rechenweg stimmt es irgendwo noch nicht:
mfg Georg

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Hallo mathecoach,

manchmal scheint man Tomaten auf den Augen
zu haben.

Wo ist mein Fehler ?

mfg Georg

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Du darfst nicht einfach auf ein Teil Hospital anwenden und ansonsten nicht.

D.h. du darfst nicht einfach das Argument des LN durch den veränderten Term ersetzen.

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und woher weiß man, dass  (sin x)' = cos x  ist ?

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Das ist eine Grundableitung die man wissen darf. Die steht auch in jeder besseren Formelsammlung drin.

Du könntest sie dir wenn du willst natürlich auch schnell am Einheitskreis herleiten.
https://www.youtube.com/watch?v=FQucqo8-ecA

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vielen lieben Dank für eure Kommentare und eure Hilfe,

mittlerweile hab ich sogar das Ergebnis. Es hat doch nur an einem simplen Rechenfehler gehangen :)

mfg

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Hey prima. Ja so sieht das gut aus.