Grenzwert mittels Regel von Bernoulli-L'Hospital bestimmen

Question

Aufgabe zur Regel von Bernoulli-L'Hospital:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1+0}\left(\ln \left(x^{2}\right) \cdot \ln (x-1)\right) \)

Mein Lösungsansatz:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1+0} \frac{\frac{\ln \left(x^{2}\right)}{1}}{\ln (x-1)} \)

\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1+0} \frac{\frac{2}{x}}{-\frac{1}{(x-1) \cdot \ln ^{2}(x-1)}} \)

Also ich habe die Funktion erstmal umgeformt und dann abgeleitet. Ist das richtig so oder falsch?

Und wie geht es jetzt weiter? Das x gegen 1+0 strebt irritiert mich irgendwie.........würde x gegen 1 streben dann würde es ja genügen (vorausgesetzt meine bisherigen Schritte sind richtig) die 1 einzusetzen und dann würde ich auf den GW kommen. Aber wie gehe ich vor, wenn x gegen 1+0 strebt? Genauso wie bei 1?

Answer 1

lim (x → 1) LN(x^2)·LN(x - 1)

lim (x → 1) LN(x - 1) / (1/LN(x^2))

L'Hospital

lim (x → 1) (1/(x - 1)) / (- 2/(x·LN(x^2)^2))

lim (x → 1) x·LN(x^2)^2 / (2·(1 - x))

L'Hospital

lim (x → 1) (LN(x^2)^2 + 4·LN(x^2)) / (-2) = 0