Die Summe einer unendlichen Geometrischen Reihe beträgt 20, die Summe aus den Quadraten der Glieder beträgt 100

Question

Die Summe einer unendlichen Geometrischen Reihe beträgt 20, die Summe aus den Quadraten der Glieder 100. Berechne das erste Glied?

Answer 1

$$\text{Sei } a_n=a\cdot q^n\text{ eine geometrische Folge und es gelte}$$$$\text{(1) }\sum_{k=0}^\infty a_k=a\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac a{1-q}=20$$$$\text{(2) }\sum_{k=0}^\infty a_k^2=a^2\sum_{k=0}^{\infty}(q^2)^k=\frac{a^2}{1-q^2}=100.$$$$\text{Löse (1) nach }a\text{ auf und setze in (2) ein}.$$$$\frac{\big(20(1-q)\big)^2}{1-q^2}=100\Leftrightarrow\frac{400(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=100\Leftrightarrow4\frac{1-q}{1+q}=1$$$$\text{Daraus folgt }q=\frac35\text{ und damit nach (1) }a=8.$$