Summe einer unendlichen geometrischen Reihe: Wie kommt man auf die Standardform?

Question

Aufgabe:

Wir müssen die Summe mit Hilfe der geometrischen Reihe berechnen.

c) $$ \sum \limits_{k=3}^{\infty} \frac{3^{(2 k-2)} 5^{(-k+1)}}{2^{k-2}}$$

Mein Ansatz:

3^(2k-2) umzuschreiben sodass ich auf 9^(k-1) komme. Wie gehe ich nun jedoch weiter? Ich benötige ja folgende Form, dass ich es überhaupt ausrechnen kann:

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

\(\sum \limits_{k=3}^{\infty} \dfrac{3^{(2 k-2)} 5^{(-k+1)}}{2^{k-2}}\\=\sum \limits_{k=3}^{\infty} \dfrac{9^{( k-1)} 0.2^{(k-1)}}{0.5\cdot2^{k-1}}\\=\sum \limits_{k=3}^{\infty} 2\cdot0.9^{( k-1)}\\=\sum \limits_{k=1}^{\infty} (2\cdot0.9^{( k-1)})-2\cdot0.9^{( 1-1)}-2\cdot0.9^{( 2-1)}\\=\dfrac2{0.1}-2-1.8=16.2\)

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Danke vielmals, das hat mir sehr geholfen!

LG
Heft12

Answer 2

Hilft das schon ?

$$\frac{3^{2k-2}\cdot 5^{-k+1}}{2^{k-2}}=\frac{3^k \cdot 3^{k-2}}{2^{k-2}\cdot 5^{k-1}} =5\cdot (\frac{3}{2})^{k-2}\cdot \frac{3^k }{5^{k}}$$$$ =5\cdot\frac{4}{9}\cdot (\frac{3}{2})^{k}\cdot \frac{3^k }{5^{k}}=\frac{20}{9}\cdot (\frac{9}{10})^{k}=\frac{20}{9}\cdot\frac{9}{10}\cdot (\frac{9}{10})^{k-1}=2\cdot (\frac{9}{10})^{k-1}$$

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Danke vielmals, das hat mir sehr geholfen!
LG
Heft12

Answer 3

3^(2n-2)= 3^(2n)*3^-2 = 1/9*3^(2n) = 1/9*9^n

5^(-n+1)= 5^-n*5 = 5/5^n

2^(k-2) = 2^n/2^2 = 1/4*2^n

-> (9^n*5*2^2)/(9*5^n*2^n) = (20/9)* (9/10)^n

Summe = (20/9)* (9/10)^3/(1-9/10) = 20/9 *729/100 = 16,2