Berechne die Summe dieser geometrischen Reihe: 1 + 1/4 + 1/16 + ... +1/4^{n}

Question

Aufgabe:

1 + 1/4 + 1/16 + ... +1/4^n

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht wie ich hier die Summe berechnen kann.

LG

Answer 1

das ist eine geometrische Reihe, also gilt:$$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{4^n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{4}\right)^n}=\frac{1}{1-1/4}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}=1.\overline{3}$$

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Comments

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Answer 2

das ist eine geometrische Reihe. Und dafür gibt es 'ne Formel. Du kannst aber auch einfach schreiben$$x = 1 + \frac1{4} + \frac 1{16} + \dots + \frac 1{4^n}$$und man weiß nicht wie groß \(x\) ist. Dann multipliziere man das ganze mit \(4\)$$4x = 4  + 1 + \frac 1{4} + \dots + \frac 1{4^{n-1}}$$und zieht die erste Gleichung davon ab - gibt:$$3x = 4 - \frac 1{4^n} \implies x = \frac 13 \left( 4 - \frac 1{4^n}\right)$$ Gruß Werner