Zeigen sie: Für jede reelle Zahl x ≠ 1 und alle n ∈ ℕ gilt: ∑_(n=0)^{n} x^k = (x^{n+1} - 1)/(x-1)

Question

∑_(n=0)^{n}  x^k = (x^{n+1} - 1)/(x-1) 

Zeigen sie: Für jede reelle Zahl x ≠ 1 und alle n ∈ ℕ gilt

Comments

EDIT: Fehlt da noch ein Gleichheitszeichen?

∑ x^k = (x^{n+1} - 1)/(x-1) 

Und der Anfang und dass Ende der Summation?

Suche in der Wikipedia "geometrische Reihe". Da findest du bestimmt einen Beweis für die Partialsummenformel.

EDIT: Fragestellung an den folgenden Kommentar angepasst (neues Bild eingefügt).

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So ist die Formel richtig!

Kannst du mir die Lösung dazu schicken.

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Liebe Lu!

Danke für deine Hilfe!

Meinst du, du kannst mir die Lösung dieser Aufgabe auch noch zuschicken?

Verstehe das nicht!

LG

Marion

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Das findest du doch eigentlich hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen

oder bei den "ähnlichen Fragen" die Nummer 3 (momentan).

https://www.mathelounge.de/227541/vollstandige-induktion-einer-konstanten-brauche-ansatz-c%E2%89%A01

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Habe es mir angeschaut. Bin im ersten Semester und habe noch keine Ahnung ;(

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Was hindert dich daran den Induktionsbeweis von Mathecoach hier https://www.mathelounge.de/227541/vollstandige-induktion-einer-konstanten-brauche-ansatz-c≠1 abzuschreiben?

Ersetze c durch x. fertig.

Besser kann ich das auch nicht.

Answer 1

Hi,

sei \( S_n = \sum_{k=0}^n  x^k \) dann gilt \( S_n \cdot x = \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1} x^k \)

Daraus folgt \( S_n \cdot x - S_n = S_n \cdot (x-1) = x^{n+1} - 1 \), also

\( S_n = \frac{x^{n+1} - 1}{x-1} \)