Welches Restglied denn? Wir hatten im Studium bisher nur das Lagrange-Restglied. Das ist auch das einfachste, denke ich.
Der Taylorsche Lehrsatz besagt, dass immer ein $$c \in ( min(x,x_0), max(x,x_0) )$$ existiert, so dass $$R_n(x) = \frac{ f^{(n+1)}(c) }{ (n+1)! } (x-x_0)^{n+1}$$ gilt.
Also für e^x entwickle ich das Tayler-Polynom 3ten Grades an der Stelle x0 = 0:
$$T_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3$$
Ich möchte das Restglied/den Fehler für z.B. x = 1 abschätzen.
Es ist also
$$e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + R_n(x)$$
mit $$R_n(x) = \frac{ f^{(n+1)}(c) }{ (n+1)! } (x-x_0)^{n+1} = \frac{e^c}{4!}(x-0)^4 = \frac{e^c}{24}x^4$$ und $$c \in (0,1) = (x_0, x)$$
Wie gross kann $$\frac{e^c}{24}x^4$$ denn dann maximal werden?
Es ist $$\frac{e^c}{24}x^4 \le \frac{e^1}{24} \cdot 1^4 \approx 0,11$$
Die Abweichung vom exakten Wert von e^x ist für x = 1 mit dem Taylorpolynom 3ten Grades also kleiner gleich 0,11. Das ist noch ziemlich genau. Also das heisst, $$T_3(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2}\cdot 1^2 + \frac{1}{6}\cdot 1^3 = \frac{8}{3} \approx 2,67$$ ist nahe an e^1 = e dran, eben weniger als 0,11 davon entfernt. Für x = 3 ist der Fehler aber schon sehr groß, ungefähr 67 und damit unbrauchbar. Da müsste man eine andere Entwicklungsstelle wählen oder noch mehr Taylerpolynome entwickeln.
