Die Parabel geht durch den Punkt wie lautet a und b?

Question

f(x)=3x² +ax+b  P1(1|9) P2(2|20)


Ich hab für a = 4 b= 2 ausgerechnet aber es würde a= 2 b=4 passen

oder kommt da eine ganz andere Zahl raus ?

Answer 1

f(x)=3x² +ax+b  P1(1|9) P2(2|20)

f ( 1 ) = 3 * 1 ^2 + a * 1 + b = 9
f ( 2 ) = 3 * 2^2 + a * 2 + b = 20

3 * 1 ^2 + a * 1 + b = 9
3 * 2^2 + a * 2 + b = 20

3  + a  + b = 9
12 + 2 * a  + b = 20
1.Gleichung nach b umstellen
b = 9 - 3 - a
b = 6 - a
in 2.Gleichung einsetzen
12 + 2 * a  + b = 20
12 + 2 * a  + 6 - a = 20
a = 20 - 12 - 6
a = 2
b = 6 - a
b = 4
Proben
f(x)=3x² +ax+b  P1(1|9) P2(2|20)
f(x)=3x² +2x+4
f ( 1 ) = 3 * 1 ^2 + 2 * 1 + 4 = 9  | stimmt
f ( 2 ) = 3 * 2^2 + 2 * 2 + 4 = 20 | stimmt

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mfg Georg

Answer 2

Beide Punkte müssen die Parabelgleichung erfüllen, es muss also gelten:

3 * 1 ² + a * 1 + b = 9
3 * 2 ² + a * 2 + b = 20

<=>

3 + a + b = 9
12 + 2 a + b = 20

<=>

a + b = 6
2 a + b = 8

<=>

a = 6 - b
2 ( 6 - b ) + b = 8

<=>

a = 6 - b
12 - b = 8

<=>

a = 6 - b
b = 4

<=>

a = 6 - 4
b = 4

<=>

a = 2
b = 4

Also: a = 2 und b = 4 und somit:

f ( x ) = 3 x ² + 2 x + 4

Und das passt ja auch, wie du selbst festgestellt hast:

f ( 1 ) = 9

f ( 2 ) = 20

Vermutlich hast du dich beim Auflösen des Gleichungssystems irgendwo verrechnet. 

Comments

@JotEs

Anstelle

a = 6 - 4
b = 4

muß es heißen

a = 2

mfg Georg

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Wenn ich die Lösung eines Gleichungssystems vorführe, schleppe ich immer gern das gesamte Gleichungssystem mit. Damit erspare ich mir (und vor allem dem Leser) "Spaghetti-Code" wie "in 2.Gleichung einsetzen" , womit der Leser auf die Suche nach dieser 2. Gleichung geschickt wird ...

Bei meiner Strategie sind beide Gleichungen und ihre Umformungen immer beieinander und am Ende stehen dementsprechend auch beide Lösungen beieinander.

Die beiden Zeilen, die zwischen je zwei Äquivalenzzeichen stehen, sind also immer die ggf. umgeformten beiden Gleichungen des anfänglichen Gleichungssystems.
Von daher ist die Zeile

b = 4

in

a = 6  - 4
b = 4

einfach die umgeformte zweite Zeile des anfänglichen Gleichungssystems, und nicht etwa die Umformung der ersten Zeile.

Die von dir geforderte Zeile

a = 2

findet man daher als erste Zeile im nächsten Block, also nach dem nächsten Äquivalenzzeichen.

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Ich habe mir deinen gesamten Rechenweg einmal
angeschaut  und die für mich ( sehr ) ungewohnte
Schreibweise. Dann ist alles korrekt. Halt für mich
etwas ungewohnt.

Ob einer kürzeren Schreibweise
1.)a + b = 6
2.)2 a + b = 8
1.) b = 6 - a
in 2.)
2*a + 6 - a = 8
a=2

der Vorzug zu geben ist liegt im eigenen Belieben.

mfg Georg