Funktionen / Parabel bestimmen die durch die Punkte A(6/4) B(-1/-7) C(1/-1) geht

Question

a) Bestimmen der Gleichung der Parabel die durch die Punkte  A(6/4) B(-1/-7) C(1/-1) geht

b) Die Funktion in Scheitelform darstellen

c) Hat die Funktion Schinttpunkte mit der Parallelen zur x-Achse durch P(0/-1), wenn ja welche?

d) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit dem Stauchungsfaktor 1/4 und dem Scheitelpunkt S (0/0) und den Geraden, die durch A (5/-2) und parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III Quadranten ist.


Ich verstehe leider praktisch gar nichts, vorallem kenn ich die Variante noch nicht, wo man mit 3 Punkten eine Parabelgleichung erstellen kann, und auch der Rest der Aufgabe erscheint mir im moment noch als unlösbar.


Kann mir einer von Euch behilflich sein, und mir Schrittweise aufzeigen, wie es gemacht wird?


Gruss ThAi

Answer 1

a)

Nun, die allgemeine Form einer Parabelgleichung lautet:

f ( x ) = a x ² + b x + c

Um die konkrete Gleichung aufzustellen, also die Gleichung derjenigen Parabel, die durch die angegebenen Punkte geht, muss man aus den Koordinaten dieser Punkte die Parameter a,b und c bestimmen.

Da jeder der drei Punkte auf der Parabel liegen soll, muss jeder deren Gleichung erfüllen. Man setzt also die Koordinaten eines jeden der drei Punkte in die allgemeine Gleichung ein und erhält auf diese Weise folgende drei Gleichungen:

Für Punkt A ( x | y ) = ( 6 | 4 ):

4 = a * 6 ² + b * 6 + c

Für Punkt B ( x | y ) = ( - 1 | - 7 ):

- 7 = a * ( - 1 )  ² + b * ( - 1 ) + c

Für Punkt C ( x | y ) = ( 1 | - 1 ):

- 1 = a * ( 1 )  ² + b * ( 1 ) + c

Dieses Gleichungssystem muss man nun lösen. Wie man ein solches Gleichungssystem löst, setze ich als bekannt voraus, daher hier nur die Lösung selbst:

a = - 2 / 7

b = 3

c = - 26 / 7

Diese Werte setzt man nun für den jeweiligen Parameter in die allgemeine Parabelgleichung ein und erhält so die Gleichung der Parabel, die durch die gegebenen Punkte verläuft:

f ( x ) = ( - 2 / 7 ) x ² + 3 x - ( 26 / 7 )

Hier das Schaubild dieser Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-2%2F7%29x^2%2B3x-%2826%2F7%29from-1.5to6.5

Prüfe, ob sie tatsächlich durch die angegebenen Punkte verläuft (das ist der Fall).

b)

So formt man den Funktionsterm in die Scheitel(punkt)form um:

f ( x ) = ( - 2 / 7 ) x ² + 3 x - ( 26 / 7 )

[Aus den ersten beiden Summanden wird der Koeffizient des quadratischen Gliedes ausgeklammert:]

= ( - 2 / 7 ) * [ x ²  - ( 21 / 2 ) x ] - ( 26 / 7 )

[Nun wird für den Term in der eckigen Klammer die quadratische Ergänzung bestimmt, addiert und sofort wieder subtrahiert: Vorliegend ist die quadratische Ergänzung: ( 21 / 4 ) ², also:]

= ( - 2 / 7 ) * [ x ²  - ( 21 / 2 ) x + ( 21 / 4 ) ² - ( 21 / 4 ) ² ] - ( 26 / 7 )

[Die ersten drei Summanden in der eckigen Klammer werden nun mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat geschrieben:]

= ( - 2 / 7 ) * [  ( x - ( 21 / 4 ) ) ² - ( 21 / 4 ) ² ] - ( 26 / 7 )

[Jetzt wird der ausgeklammerte Faktor wieder in die Klammer hineinmultipliziert:]

= ( - 2 / 7 ) * ( x - ( 21 / 4 ) ) ² - ( - 2 / 7 ) * ( 21 / 4 ) ² - ( 26 / 7 )

[Die beiden letzten Summanden ausmultiplizieren und zusammenfassen:]

= ( - 2 / 7 ) * ( x - ( 21 / 4 ) ) ² + 882 / 112  - 416 / 112

= ( - 2 / 7 ) * ( x - ( 21 / 4 ) ) ² + 466 / 112

= ( - 2 / 7 ) * ( x - ( 21 / 4 ) ) ² + 233 / 56

Fertig. Aus dieser Form kann man nun den Scheitelpunkt S ( xs | ys ) ablesen:

S ( xs | ys ) = (  21 / 4 | 233 / 56 ) ≈ ( 5,25 | 4,16 )

Prüfe im Schaubild, ob der Graph tatsächlich diesen Scheiotelpunkt hat (das ist der Fall).

c)

Setzte die Funktion gleich - 1:

f ( x ) = ( - 2 / 7 ) x ² + 3 x - ( 26 / 7 ) = - 1

<=> ( - 2 / 7 ) x ² + 3 x - ( 26 / 7 ) = - 1

[und löse nach x auf:]

<=>  ( - 2 / 7 ) x ² + 3 x = ( 26 / 7 ) - 1 = 19 / 7

[Dividieren durch ( - 2 / 7 ) :]

<=> x ² - ( 21 / 2 ) x = - 19 / 2

[quadratische Ergänzung bestimmen und auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² - ( 21 / 2 ) x + ( 21 / 4 ) ² = ( 21 / 4 ) ² - 19 / 2

<=> x ² - ( 21 / 2 ) x + ( 21 / 4 ) ² = 289 / 16

[Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben:]

<=> ( x - ( 21 / 4 ) ) ² = 289 / 16

[Wurzel ziehen:]

<=> x - ( 21 / 4 ) = ± 17 / 4

<=> x = ± ( 17 / 4 ) + ( 21 / 4 )

x₁ = 4 / 4 = 1

x₂ = 38 / 4 = 9,5

d)

Bestimme zunächst die Fuktionsgleichung der beschriebenen Parabel, indem du die gegebenen Werte in die allgemeine Scheitelpunktform

f ( x ) a ( x - xs ) ² - ys

einsetzt (a ist der Stauchungsfaktor, xs bzw. ys sind die x - bzw. y - Koordinaten des Scheitelpunktes):

f ( x ) = ( 1 / 4 ) ( x - 0 ) ² - 0

= ( 1 / 4 ) x ²

Bestimme nun die Gleichung der beschriebenen Geraden. Diese soll parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sein. Diese Winkelhalbierende ist die Gerade mit der Gleichung w ( x ) = 1 * x. Sie hat also die Steigung 1 und daher muss die gesuchte Gerade ebenfalls die Steigung m = 1 haben, um parallel zur  Winkelhalbierenden w ( x ) zu verlaufen. Außerdem soll sie durch den Punkt A ( 5 | - 2 ) verlaufen, die Koordinaten dieses Punktes müssen also die gesuchte Gleichung erfüllen. Es muss also gelten:

y = m * x + b

Einsetzen:

- 2 = 1 * 5 + b 

Achsenabschnitt b ausrechnen:

b = - 2 - 5 = - 7

Somit lautet die gesuchte Geradengleichung:

g ( x ) = 1 * x - 7

= x - 7