Kubische Parabel geht durch Punkte...

Question

Aufgabe:

Eine kubische Parabel y=ax³+bx²+cx+d geht durch die Punkte

A(2;2), B(3;9) und berührt an der Stelle x = 1 die x-Achse.

Geben Sie die Kurvengleichung an.

Irgendwie verzweifel ich an dieser Aufgabe. ich sehe 4 Unbekannte bekomme aber nur 3 Gleichungen zustande

und egal was ich versuche ich komme net auf eine Lösung.

Bitte um Hilfe, Rechnungsweg und vielleicht tipps wie ich solche Systeme am besten Lösen und angehen soll.

für eure Mühen

Answer 1

Wo liegen genau die Schwiegigkeiten. Ich lasse das mal mit http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm machen

Comments

was sind dann die Ergebnisse für a,b,c und d?

für meine Kontrolle jetzt?

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a = 0.25 ; b = 1 ; c = -2.75 ; d = 1.5

Answer 2

berührt an der Stelle x = 1 die x-Achse.

Berühren bedeutet, dass die beiden Funktionsgraphen an dieser Stelle außerdem die gleiche Steigung haben.

Also gilt nicht nur f(1) = 0, sondern es muss auch noch eine Extremstelle vorliegen, weshalb f'(1) = 0 gelten muss.

Zusammen mit f(2) = 2 und f(3) = 9 lässt sich nun die Funktionsgleichung ermitteln.

Comments

Hallo Larry,

Ein Berührpunkt kann auch ein Schnittpunkt
sein
Beispiel
f = x^3
g = 0

Schnittpunkt / Berührpunkt der kubischen
Parabel mit der x-Achse.

Es gilt die Definition für einen Berührpunkt
f = g
f ´ = g ´

Trotzdem schneidet die x-Achse
die Parabel.

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Stimmt, da hast du recht.

Answer 3

du hast noch gegeben,dass die Steigung an der x = 1 gegeben.

Sie ist 0, da die Kurve die Achse nur berührt, also nicht schneidet. Deshalb muss es ein Hoch- oder Tiefpunkt sein.

Somit hast du deine 4 Bedingungen.

Gruß

Smitty

Answer 4

Eine kubische Parabel \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) geht durch die Punkte
A\((2|2)\), B\((3|9)\) und berührt an der Stelle \(x = 1\) die x-Achse.

berührt an der Stelle \(x = 1\) die x-Achse → doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x-1)^2(x-N)\)

A\((2|2)\):

\(f(2)=a(2-1)^2(2-N)=a(2-N)=2\)

\(a=\frac{2}{2-N}\):

\(f(x)=\frac{2}{2-N}(x-1)^2(x-N)\)

B\((3|9)\):

\(f(3)=\frac{2}{2-N}(3-1)^2(3-N)=\frac{2}{2-N}[4\cdot (3-N)]=9\)

\(N=-6\):  \(a=\frac{2}{2+6}=\frac{1}{4}\):

\(f(x)=\frac{1}{4}(x-1)^2(x+6)\)

Um a,b,c und d zu erhalten , müsste man ausmultiplizieren.