Aloha :)
Die gesuchte kubische Parabel hat die Nullstellen \((1|0)\) und \((5|0)\). Sie muss also die Faktoren \((x-1)\) und \((x-5)\) enthalten. Daher wählen wir als Ansatz:$$y(x)=a\cdot(x-b)\cdot(x-1)\cdot(x-5)$$Die beiden Unbektannten \(a\) und \(b\) erhalten wir aus der Information, dass die Kurve "glatt" mit den beiden linearen Teilstücke abschließen soll. Das heißt, die Ableitungen müssen an den beiden Anschlusspunkten übereinstimmen:$$y'(1)=-1\quad;\quad y'(5)=2$$Wir bilden daher die Ableitung mit Hilfe der Produktregel$$y'(x)=a(x-1)(x-5)+a(x-b)(x-5)+a(x-b)(x-1)$$und setzen die Bedingungen für "glatt" ein:$$-1=y'(1)=a(1-b)(1-5)=-4a(1-b)$$$$\;\;\,2=y'(5)=a(5-b)(5-1)=4a(5-b)$$Division der zweiten Gleichung durch die erste liefert:$$\frac{2}{-1}=\frac{4a(5-b)}{-4a(1-b)}=\frac{(5-b)}{-(1-b)}\quad\Rightarrow\quad5-b=2(1-b)=2-2b\quad$$$$\Rightarrow\quad b=-3\quad\Rightarrow\quad 2=4a(5-b)=4a\cdot8=32a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{16}$$Die Kurve lauete also:$$y(x)=\frac{1}{16}(x+3)(x-1)(x-5)=\frac{1}{16}\left(x^3-3x^2-13x+15\right)$$Den südlichsten Punkt finden wir dort, wo die Ableitung \(y'(x)\) zwischen \(x=1\) und \(x=5\) zu Null wird:
$$0\stackrel{!}{=}y'(x)=\frac{1}{16}\left(3x^2-6x-13\right)=\frac{3}{16}\left(x^2-2x-\frac{13}{3}\right)$$Mit der pq-Formel finden wir die Lösungen:$$x_{1,2}=1\pm\sqrt{1^2+\frac{13}{3}}=1\pm\sqrt{\frac{16}{3}}=1\pm\frac{4}{\sqrt3}$$Die Lösung mit dem Minus vor der Wurzel scheidet aus, weil wir eine Lösung zwischen 1 und 5 suchen:$$x_s=1+\frac{4}{\sqrt3}\approx3,3094\quad;\quad y(x_s)=-1,5396\quad\Rightarrow\quad S(3,31|-1,54)$$
~plot~ (1/16)*(x+3)(x-1)(x-5)*(x>=0)*(x<=5) ; (1-x)*(x<1) ; {1|0} ; {3,31|-1,54} ; {5|0} ; (-10+2x)*(x>=5) ; [[-1|6|-2|2]] ~plot~
